Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 1-9 класса - сложность 3 с решениями

Даны различные натуральные числа <i>a</i>, <i>b</i>. На координатной плоскости нарисованы графики функций  <i>y</i> = sin <i>ax</i>,  <i>y</i> = sin <i>bx</i>  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число <i>c</i>, отличное от <i>a</i>, <i>b</i> и такое, что график функции  <i>y</i> = sin <i>cx</i>  проходит через все отмеченные точки.

Дан треугольник <i>ABC, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов <i>A, B</i> и <i>C</i> относятся как  4 : 2 : 1.  Докажите, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = <i>A</i>₁<i>C</i>₁.

Докажите, что при<i> k></i>10в произведении <center><i>

f</i>(<i>x</i>)<i> = cos x cos </i>2<i>x cos </i>3<i>x .. cos </i>2<i>^k x

</i></center> можно заменить один<i> cos </i>на<i> sin </i>так, что получится функция<i> f₁</i>(<i>x</i>), удовлетворяющая при всех действительных<i> x </i>неравенству<i> |f₁</i>(<i>x</i>)<i>|<img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_3.gif"> </i>.

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.

Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.

Пусть<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=x²+ax+b cos x </i>. Найдите все значения параметров<i> a </i>и<i> b </i>, при которых уравнения<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=</i>0и<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i>=</i>0имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

Доказать, что каковы бы ни были числа <i>a, b, c</i>, по крайней мере одно из уравнений

    <i>a</i> sin <i>x + b</i> cos <i>x + c</i> = 0,   2<i>a</i> tg <i>x + b</i> ctg <i>x</i> + 2<i>c</i> = 0

имеет решение.

Доказать, что сумма<i> cos α+ cos</i>(72<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(144<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(216<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(288<i>^o+α</i>)не зависит от<i> α </i>.

Из условия<i> tgϕ=</i>1/<i> cosα cosβ+ tgα tgβ </i>вывести, что<i> cos </i>2<i>ϕ<img src="/storage/problem-media/109155/problem_109155_img_2.gif"> </i>0.

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

Показать, что<i> sin </i>36<i>^o=</i>1/4<i><img src="/storage/problem-media/109145/problem_109145_img_2.gif"> </i>.

Докажите следующие равенства: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">

б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">

в)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">

Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.

Некоторые из чисел<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...<i>a</i>_nравны +1, остальные равны -1. Доказать, что<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT">2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$<i>a</i>₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi...

Доказать, что  cos ^2π/₅ + cos ^4π/₅ = – ½.

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы: а)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>²<i>q</i>^{k - 1}; б)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>sin <i>kx</i>; в)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>²cos <i>kx</i>.

Числа<i>x</i>,<i>y</i>и<i>z</i>удовлетворяют соотношению<i>xy</i>+<i>yz</i>+<i>xz</i>= 1. Докажите, что существуют числа$\alpha$,$\beta$,$\gamma$такие, что$\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$и выполняются равенства<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{2}}$,<i>y</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\beta}{2}}$, <i>z</i> = <i>tg</i> $\displaystyle {\dfrac{\gamma}{2}}$. </div>

а) Докажите, что при  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  заменой  <i>x</i> = α<i>y</i> + β  сводится к уравнению <i>ay</i>³ – 3<i>by</i>² – 3<i>ay + b</i> = 0    () от переменной <i>y</i>. б) Докажите, что решениями уравнения () будут числа   <i>y</i>₁ = tg <img width="18" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61279/problem_61279_img_2.gif">,   <i>y</i>₂ = tg <img width="55" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/probl...

Решите уравнения

  а)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – 1 = 0;

  б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61276/problem_61276_img_2.gif"> = 0.

Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Когда  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² < 0,  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.

  а) Докажите, что при  <i>p</i> < 0  уравнение  <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0  заменой  <i>x = kt</i>  сводится к уравнению  4<i>t</i>³ – 3<i>t – r</i> = 0   (*)  от переменной <i>t</i>.

  б) Докажите, что при  4<i>p</i>³ + 27<i>q</i>² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  <i>t</i>&lt...

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...,<i>a</i>_{n + 1}образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i>₁> 0,<i>r</i>> 0).

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$    (<i>x</i> > 0). </div>

Найдите алгебраическую связь между углами$\alpha$,$\beta$и$\gamma$, если известно, что<div align="CENTER"> <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$ + <i>tg</i> $\displaystyle \beta$ + <i>tg</i> $\displaystyle \gamma$ = <i>tg</i> $\displaystyle \alpha$^.<i>tg</i> $\displaystyle \beta$^.<i>tg</i> $\displaystyle \gamma$. </div>

Решите уравнения при0^<tt>o</tt><<i>x</i>< 90^<tt>o</tt>: a) $\sqrt{13-12\cos x}$+$\sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$= 2$\sqrt{3}$;б) $\sqrt{2-2\cos x}$+$\sqrt{10-6\cos x}$=$\sqrt{10-6\cos 2x}$;в) $\sqrt{5-4\cos x}$+$\sqrt{13-12\sin x}$=$\sqrt{10}$.