Олимпиадная задача по планиметрии и тригонометрии для 8-9 классов: Треугольник с биссектрисами

  Обозначим:  α = ^π/₇.   Первый способ. Пусть углы A, B, C равны 4α, 2α, α, I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Равенства  ∠AB₁I = 2α = ∠IAB₁,

∠СC₁A = ^5α/₂ = ∠C₁IA  влекут равенство отрезков  AC₁ = AI = IB₁.  Аналогично из равенств  ∠ABA₁ = 2α = ∠BAA₁,  ∠BIA₁ = 3α = ∠B₁AI  следует, что  AA₁ = BA₁ = BI.

  Выберем на отрезке BI такую точку K, что  ∠BA₁K = α.  Тогда  ∠BA₁K = ∠KBA₁,  ∠KA₁I = ∠IKA₁ = 2α,  поэтому  IK = IA₁  и

KA₁ = KB = BI – IK = AA₁ – IA₁ = AI = AC₁,  B₁K = B₁I + IK = AI + IA₁ = AA₁.  Треугольники KA₁B₁ и AC₁A₁ равны по двум сторонам и углу между ними, отсюда  A₁B₁ = A₁C₁.   Второй способ. В правильном семиугольнике ABXYZCT отношения углов треугольника ABC как раз  4 : 2 : 1.  Опишем вокруг семиугольника окружность с центром O. Биссектрисы AA₁ и BB₁ проходят через середины дуг BC и AC – точки Y и T соответственно. Из симметрии относительно прямой OZ видим, что  BA₁ = AA₁  и  YA₁ = CA₁,  а из симметрии относительно прямой OY – что YB₁ – биссектриса угла AYT. При повороте на угол 3α вокруг точки A₁ точка B перейдёт в A, С – в Y, луч BA – в луч AC, а луч СС₁ – в луч YB₁ (угол между ними равен 3α). Поэтому C₁ (точка пересечения BA и CC₁) перейдёт в B₁ (точка пересечения AC и YB₁), тем самым отрезок A₁C₁ перейдёт в отрезок A₁B₁.   Третий способ. Достаточно доказать равенство треугольников AA₁B₁ и BA₁С₁, для чего достаточно проверить равенство  AB₁ = BС₁.  Выражая эти отрезки через стороны треугольника ABC, сводим всё к проверке равенства  b(a + b) = a(a + c),  то есть (теорема синусов) sin 2α (sin 4α + sin 2α) = sin 4α (sin 4α + sin α).  Но  sin 2α (sin 4α + sin 2α) = 2 sin 2α sin 3α sin α  и

sin 4α (sin 4α + sin α) = sin 3α (sin 3α + sin α) = 2 sin 3α sin 2α sin α.

Ответ задачи отсутствует