Олимпиадные задачи по теме «Средние величины» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Средние величины
НазадВ классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?
Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим прогноз времени, остающегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составляло 1 час и оставалось таким же ещё в течение пяти часов. Могло ли такое быть? Если да, то сколько километров проехал автобус к окончанию этих пяти часов?
Известно, что модули всех корней уравнений <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0, <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0 также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа <i>n</i> лежит на отрезке <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66356/problem_66356_img_2.gif">
Имеется <i>n</i> случайных векторов вида (<i>y</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>2</sub>, <i>y</i><sub>3</sub>), где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор <i><b>a</b></i> с координатами (<i>Y</i><sub>1</sub>, <i>Y</i><sub>2</sub>, <i>Y</i><sub>3</sub>).
а) Найдите математическое ожидание случайной величины <i><b>a</b></i>².
б) Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66053/problem_66053_img_2.gif">
Билет на электричку стоит 50 рублей, а штраф за безбилетный проезд – 450 рублей. Если безбилетник (заяц) попадается контролёру, то оплачивает и штраф, и стоимость билета. Известно, что контролёр встречается в среднем один раз на 10 поездок. Заяц ознакомился с основами теории вероятностей и решил придерживаться стратегии, которая делает математическое ожидание расходов наименьшим возможным. Как ему поступать: покупать билет каждый раз, не покупать никогда или бросать монетку – покупать билет или нет?
ЕГЭ по математике в волшебной стране Оз устроено следующим образом. Каждую работу независимо друг от друга проверяют три преподавателя, и каждый ставит за каждую задачу 0 или 1 балл. Затем компьютер находит среднее арифметическое оценок за эту задачу и округляет его до ближайшего целого. Затем баллы, полученные за все задачи, суммируются. Случилось так, что в одной из работ каждый из трёх экспертов поставил по 1 баллу за 3 задачи и 0 баллов за все прочие задачи. Найдите наибольший возможный суммарный балл за эту работу.
На конференцию приехали 18 учёных, из которых ровно 10 знают сногсшибательную новость. Во время перерыва (кофе-брейка) все учёные разбиваются на случайные пары, и в каждой паре каждый, кто знает новость, рассказывает эту новость другому, если тот её ещё не знал.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число учёных, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число учёных, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой <i>X</i> количество учёных, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание <i>X</i>.
На знакомом нам заводе вырезают металлические диски диаметром 1 м. Известно, что диск диаметром ровно 1 м весит ровно 100 кг. При изготовлении возникает ошибка измерения, и поэтому стандартное отклонение радиуса составляет 10 мм. Инженер Сидоров считает, что стопка из 100 дисков в среднем будет весить 10000 кг. На сколько ошибается инженер Сидоров?
К концу полугодия у Василия Петрова в журнале стояли такие отметки по математике: 4, 1, 2, 5, 2 Перед тем как выставить полугодовую отметку, учитель математики сказал Васе:
– Вася, ты можешь выбрать метод, как вывести твою отметку за полугодие. Предлагаю два варианта. Метод А: среднее арифметическое текущих отметок с округлением до целого. Метод Б: медиана текущих отметок.
Лучший метод для Васи – это такой метод, который даст Васе в полугодии наибольшую отметку. Какой метод для Васи лучший?
Городской муниципалитет Затонска принял правило: отопление в домах следует включать не раньше 26 октября, но только если средняя температура в течение трёх предыдущих дней ниже 8°C. В городе два района – Прибрежный и Заречный.
В Прибрежном районе правило поняли так: если три дня подряд средняя дневная температура каждый день ниже 8°C, то на четвёртый день нужно включить отопление, если этот день случился 26 октября или позже.
В Заречном районе правило поняли иначе: если средняя температура за трёхдневный период ниже 8°C, то на четвёртый день нужно включить отопление, если этот день не раньше 26 октября.
В таблице показана средняя дневная температура за несколько дней октября. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65765/problem_65765_...
Вероятность рождения двойняшек в Швамбрании равна <i>p</i>, тройняшки в Швамбрании не рождаются.
а) Оцените вероятность того, что встреченный на улице швамбранец – один из пары двойняшек?
б) В некоторой швамбранской семье трое детей. Какова вероятность того, что среди них есть пара двойняшек?
в) В школах швамбранских двойняшек обязательно зачисляют в один класс. Всего в Швамбрании <i>N</i> первоклассников.
Каково матожидание числа пар двойняшек среди них?
Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовём мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:
а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;
б) математическое ожидание числа довольных мужчин.
В числовом наборе <i>n</i> чисел, причём одно из чисел равно 0, а другое равно 1.
а) Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел?
б) Каким для этого должен быть набор?
Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?
Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка <i>F</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку <i>F</i>. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65305/problem_65305_img_2.png"></div>
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 3.
а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашёл, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?
б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?
Служить на подводной лодке может матрос, рост которого не превышает 168 см. Есть четыре команды А, Б, В и Г. Все матросы в этих командах хотят служить на подводной лодке и прошли строгий отбор. Остался последний отбор – по росту.
В команде А средний рост матросов равен 166 см.
В команде Б медиана роста матросов равна 167 см.
В команде В самый высокий матрос имеет рост 169 см.
В команде Г мода роста матросов равна 167 см.
В какой команде по крайней мере половина матросов точно может служить на подводной лодке?
Игральную кость бросают шесть раз. Найдите математическое ожидание числа различных выпавших граней.
В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина <i>A</i> разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина <i>A</i> называется <i>неустойчивой</i>. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.
По условиям шахматного матча победителем объявляется тот, кто опередил соперника на две победы. Ничьи в счет не идут. Вероятности выигрыша у соперников одинаковы. Число результативных партий в таком матче – величина случайная. Найдите её математическое ожидание.
Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?
При изучении иностранного языка класс делится на две группы. Ниже даны списки групп и полугодовые оценки учащихся. Может ли учительница английского языка перевести одного ученика из первой группы во вторую так, чтобы средний балл учащихся в обеих группах вырос? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65281/problem_65281_img_2.gif"></div>
В первой четверти у Васи было пять оценок по математике, больше всего среди них пятёрок. При этом оказалось, что медиана всех оценок равна 4, а среднее арифметическое 3,8. Какие оценки могли быть у Васи?
Город считается миллионером, если в нем живет более миллиона человек. Вероятность какого события больше:
<i>A</i> = {наугад выбранный городской житель живет в городе миллионере} или
<i>B</i> = {наугад выбранный город – город-миллионер}?Возьмите статистику численности городского населения России с сайта http://www.perepis2002.ru/ct/doc/1_TOM_01_05.xls. Проверьте, справедлив ли для России ваш вывод, сделанный ранее. Для этого подсчитайте вероятность того, что наугад выбранный городской житель живёт в городе-миллионере, и вероятность того, наугад выбранный город – миллионер, и сравните их.