Задача
В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.
Решение
Рассмотрим длины дуг между соседними точками. В силу неравенства a² + b² > (a+b/2)² (при a ≠ b) сумма квадратов этих дуг каждую секунду уменьшается. Следовательно, многоугольник никогда не станет таким же, как был.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет