Олимпиадные задачи по теме «Корни. Степень с рациональным показателем» для 7-10 класса - сложность 2 с решениями

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.

Решите систему уравнений  (<i>n</i> > 2)      <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif">   <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif">     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = 1.

Дано натуральное число $N$. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к $\sqrt{N}$, воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число $a^2$, ближайшее к числу $N$; тогда $a$ и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?

Доказать, что выражение <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_3.gif">

</i></center> равно 2, если<i> 1<= a <= 2 </i>, и равно<i> 2<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_4.gif"> </i>, если<i> a>2 </i>.

Сравните без помощи калькулятора числа:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Решите уравнение<div align="CENTER"> (<i>x</i>² + <i>x</i>)² + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0. </div>

Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}$.

Решите уравнение${\frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}}$+<i>x</i>²- 4 = 0.

Решить уравнение:  <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_2.gif"> + <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_3.gif"> = 1.

Приведите пример таких целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, среди которых нет одинаковых, что $a^b=c^d$ и $b^a=d^c$.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66348/problem_66348_img_2.gif">

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

Что больше:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_3.gif">

Известно, что  <i>а</i> > 1.  Обязательно ли имеет место равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?

Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, большее 1, что значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65522/problem_65522_img_2.gif">  является натуральным числом?

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

Найдите наименьшее значение дроби ^<i>x</i>/_<i>y</i>, если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64900/problem_64900_img_2.gif">.

Числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i> лежат в интервале  (0, 1).  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64488/problem_64488_img_2.gif"> < 4.

<b>``1 = - 1''.</b>Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1. </div>После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:<div align="CENTER"> -1 = <i>i</i>² = $\displaystyle \sqrt{-1}$<sup> . </su...

Найдите у чисел   а)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_2.gif">)¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61477/problem_61477_img_3.gif">)²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.