Олимпиадные задачи по теме «Графики и ГМТ на координатной плоскости» - сложность 1-3 с решениями

На координатной плоскости задан график функции  <i>y = kx + b</i>  (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции  <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>

На рисунке изображен график функции  <i>у = kx + b</i> .  Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>

На плоскости нарисовали кривые  <i>y</i> = cos <i>x</i>  и  <i>x</i> = 100 cos(100<i>y</i>)  и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть <i>a</i> – сумма абсцисс, а <i>b</i> – сумма ординат этих точек. Найдите  ^<i>a</i>/_<i>b</i>.

Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif">  имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif">  также имеют ровно одну общую точку.

Про функцию <i>f</i>(<i>x</i>) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком  <i>y = f</i>(<i>x</i>)  столько же общих точек, сколько с параболой  <i>y = x</i>².  Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) ≡ <i>x</i>².

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Три спортсмена стартовали одновременно из точки <i>A</i> и бежали по прямой в точку <i>B</i> каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки <i>B</i>, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке <i>A</i>. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от <i>A</i> до <i>B</i> равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции <i>y</i> = sin <i>x</i>. Может ли та же кривая являться графиком функции <i>y</i> = sin ²<i>x</i> в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>c</i>  (см. рисунок). В каких точках график функции  <i>y = cx + a</i>  пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>

Найдите наименьшее значение  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  <i>x</i>² – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.

Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

После урока на доске остался график функции  <i>y = ^k/_x</i>  и пять прямых, параллельных прямой  <i>y = kx</i>  (<i>k</i> ≠ 0).

Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить <i>N</i> дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает): <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111639/problem_111639_img_2.gif"></div>Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались? Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i> = | </i>4<i> - </i>4<i>|x|| - </i>2. Сколько решений имеет уравнение<i> f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))<i> = x </i>?

Угол, образованный лучами  <i>y = x</i>  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>  при  <i>x</i> ≥ 0,  высекает на параболе  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось <i>Ox</i>. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

Прямые, параллельные оси <i>Ox</i>, пересекают график функции  <i>y = ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>:  первая – в точках <i>A, D</i> и <i>E</i>, вторая – в точках <i>B, C</i> и <i>F</i> (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги <i>CD</i> на ось <i>Ox</i> равна сумме длин проекций дуг <i>AB</i> и <i>EF</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109668/problem_109668_img_2.gif"></div>

Внутри параболы  <i>y = x</i>²  расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом <i>n</i> > 1 окружность ω_<i>n</i> касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_<i>n</i>–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109664/problem_109664_img_2.gif"></div>

Докажите, что любую функцию, определённую на всей оси, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которой имеет ось симметрии.

На параболе  <i>y = x</i>²  выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.

Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.

Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов  <i>ax</i>² + <i>bx + c,  bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>

Может ли вершина параболы  <i>у</i> = 4<i>х</i>² – 4(<i>а</i> + 1)<i>х + а</i>  лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении <i>а</i>?

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?