Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 1-5 с решениями
На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>АС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно так, что угол <i>MKB</i> равен углу <i>MNC</i>, а угол <i>KMB</i> равен углу <i>KNA</i>. Докажите, что <i>NB</i> – биссектриса угла <i>MNK</i>.
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116928/problem_116928_img_2.gif">.
На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?
В треугольнике <i>ABC</i> медиана, проведённая из вершины <i>A</i> к стороне <i>BC</i>, в четыре раза меньше стороны <i>AB</i> и образует с ней угол 60°. Найдите угол <i>А</i>.
На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?
На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3·33·333·...·3333333333 ?
В четырёхугольнике есть два прямых угла, а его диагонали равны. Верно ли, что он является прямоугольником?
Известно, что числа <i>а, b, c</i> и <i>d</i> – целые и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116922/problem_116922_img_2.gif">. Может ли выполняться равенство <i>аbcd</i> = 2012?
В классе – 17 человек. Известно, что среди любых десяти есть хотя бы одна девочка, а мальчиков больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе?
На клетчатой бумаге нарисован квадрат 7×7. Покажите, как разрезать его по линиям сетки на шесть частей и сложить из них три квадрата.
Ваня пошел с папой в тир. Уговор был такой: Ване даются 10 патронов, и за каждое попадание в цель он получает ещё три патрона. Ваня сделал 14 выстрелов и ровно в половине из них он попал в цель. Сколько патронов осталось у Вани?
Существует ли такие выпуклый четырёхугольник и точка <i>P</i> внутри него, что сумма расстояний от <i>P</i> до вершин больше периметра четырёхугольника?
На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Длина прямоугольного участка равна 4 метра, а ширина – 1 метр.
Можно ли посадить на нём три дерева так, чтобы расстояние между любыми двумя деревьями было не меньше чем 2,5 метра?
На координатной плоскости задан график функции <i>y = kx + b</i> (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>
Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>x</i>² + <i>cx + d</i> меньше 10. Может ли трёхчлен <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116803/problem_116803_img_2.gif"> иметь корни, модули которых не меньше 10?
Может ли число (<i>x</i>² + <i>x</i> + 1)² + (<i>y</i>² + <i>y</i> + 1)² при каких-то целых <i>x</i> и <i>y</i> оказаться точным квадратом?
Докажите, что если <i>а</i> > 0, <i>b</i> > 0, <i>c</i> > 0 и <i>аb + bc + ca</i> ≥ 12, то <i>a + b + c</i> ≥ 6.
В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться, что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми девочками?
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Прямая, пересекающая отрезок <i>PQ</i>, последовательно пересекает эти окружности в точках <i>A, B, C</i> и <i>D</i>.
Докажите, что ∠<i>APB</i> = ∠<i>CQD</i>.
Три фирмы <i>А, В</i> и <i>С</i> решили совместно построить дорогу длиной 16 км, договорившись финансировать этот проект поровну. В итоге, <i>А</i> построила 6 км дороги, <i>В</i> построила 10 км, а <i>С</i> внесла свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Каким образом фирмы <i>А</i> и <i>В</i> должны разделить эти деньги между собой?
Может ли произведение трёх трёхзначных чисел, для записи которых использовано девять различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?
Существует ли трапеция, в которой каждая диагональ разбивает её на два равнобедренных треугольника?
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .
На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?