Олимпиадные задачи по математике для 2-9 класса - сложность 1 с решениями
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Петя ехал из Петрова в Николаево, а Коля – наоборот. Они встретились, когда Петя проехал 10 км и еще четверть оставшегося ему до Николаева пути, а Коля проехал 20 км и треть оставшегося ему до Петрова пути. Какое расстояние между Петрово и Николаево?
На рисунке изображен график функции <i>у = kx + b</i> . Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>
У двух равнобедренных треугольников равны основания и радиусы описанных окружностей. Обязательно ли эти треугольники равны?
Существуют ли два одночлена, произведение которых равно –12<i>а</i><sup>4</sup><i>b</i>², а сумма является одночленом с коэффициентом 1?
Найдите все пары (<i>p, q</i>) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD || BC</i>) из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если <i>АВ</i> = 5, <i>EF</i> = 4.
Известно, что <i>x, y</i> и <i>z</i> – целые числа и <i>xy + yz + zx</i> = 1. Докажите, что число (1 + <i>x</i>²)(1 + <i>y</i>²)(1 + <i>z</i>²) является квадратом натурального числа.
Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.
Для некоторых чисел <i>а, b, c</i> и <i>d</i>, отличных от нуля, выполняется равенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116531/problem_116531_img_2.gif"> . Найдите знак числа <i>ас</i>.
Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?
В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. Докажите, что <i>АВ</i> > <i>AD</i>.
Решите уравнение: (<i>x</i> + 2010)(<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012) = (<i>x</i> + 2011)(<i>x</i> + 2012)(<i>x</i> + 2013).
Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_2.gif"> . Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116457/problem_116457_img_3.gif">.
Какие значения может принимать выражение (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>), если известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116451/problem_116451_img_2.gif"> ?
Делится ли число 21<sup>10</sup> – 1 на 2200?
Окружность проходит через вершины <i>В</i> и <i>D</i> параллелограмма <i>АВСD</i> и пересекает его стороны <i>АВ, ВС, СD</i> и <i>DA</i> в точках <i>M, N, P</i> и <i>K</i> соответственно. Докажите, что <i>MK || NP</i>.
Найдите все натуральные решения уравнения 2<i>n</i> – <sup>1</sup>/<sub><i>n</i><sup>5</sup></sub> = 3 – <sup>2</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Верно ли, что если <i>b > a + c</i> > 0, то квадратное уравнение <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет два корня?
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i> и проведены отрезки <i>РА</i>, <i>РВ</i>, <i>РС</i> и <i>PD</i>. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Решите неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">
В шестиугольнике пять углов по 90°, а один угол — 270° (см. рисунок). C помощью линейки без делений разделите его на два равновеликих многоугольника.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116184/problem_116184_img_2.gif"></div>
В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов.
Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? .
B правильном шестиугольнике <i>ABCDEF</i> на прямой <i>AF</i> взята точка <i>X</i> так, что ∠<i>XCD</i> = 45°. Hайдите угол <i>FXE</i>.