Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3 с решениями

Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что  ∠<i>ADB</i> = ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BDC</i>.

Найдите наименьшее значение площади треугольника <i>ABC</i>, если  <i>BD = a</i>.

В треугольнике <i>АВС</i> проведена биссектриса <i>АА</i>₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к <i>АА</i>₁, перпендикуляр к <i>ВС</i>, проходящий через точку <i>А</i>₁, и прямая <i>АО</i> (<i>О</i> – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?

В треугольнике <i>ABC</i>:  ∠<i>B</i> = 22,5°,  ∠<i>C</i> = 45°.  Докажите, что высота <i>АН</i>, медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>CL</i> пересекаются в одной точке.

В кубе с ребром длины 1 провели два сечения в виде правильных шестиугольников. Найдите длину отрезка, по которому эти сечения пересекаются.

Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)

Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что  <i>AD</i> = &frac13; <i>AC,  CE</i> = &frac13; <i>CE</i>.  Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>ВС</i>, <i>АС</i> и <i>АВ</i> в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Точка <i>K</i> – проекция точки <i>C'</i> на прямую <i>A'B'</i>. Докажите, что <i>KC'</i> – биссектриса угла <i>AKB</i>.

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.

Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.

B выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  <i>AC</i> ⊥ <i>BD</i>,  ∠<i>BCA</i> = 10°,  ∠<i>BDA</i> = 20°,  ∠<i>BAC</i> = 40°.  Найдите ∠<i>BDC</i>.

Найдите все простые числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, для которых выполняется равенство:  <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)^<i>r</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  ∠<i>ВАС</i> = 20°,  ∠<i>ВСА</i> = 35°,  ∠<i>ВDС</i> = 40°,  ∠<i>ВDА</i> = 70°.

Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Для различных положительных чисел <i>а</i> и <i>b</i> выполняется равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116018/problem_116018_img_2.png">.  Докажите, что <i>а</i> и <i>b</i> – взаимно обратные числа.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Биссектрисы углов <i>В</i> и <i>С</i> пересекаются в точке, лежащей на отрезке <i>AD</i>.

Найдите <i>AD</i>, если  <i>АВ</i> = 5,  <i>СD</i> = 3.

Докажите, что если  <i>x</i> > 0,  <i>y</i> > 0,  <i>z</i> > 0 и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115995/problem_115995_img_2.gif">,  и укажите, в каком случае достигается равенство.

Найдите наименьшее значение  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  <i>x</i>² – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.

Докажите, что при любых натуральных  0 <<i>k</i><<i>m < n</i>  числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111922/problem_111922_img_3.gif">  не взаимно просты.

Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.

Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает каждому колпак белого или чёрного цветов. Все мудрецы видят цвета всех колпаков впереди стоящих мудрецов, а цвет своего и всех стоящих сзади не видят. Раз в минуту один из мудрецов должен выкрикнуть один из двух цветов (каждый мудрец выкрикивает цвет один раз). После окончания этого процесса король казнит каждого мудреца, выкрикнувшего цвет, отличный от цвета его колпака. Накануне переаттестации все сто членов Совета Мудрецов договорились и придумали, как минимизировать число казнённых. Скольким из них гарантированно удастся избежать казни?

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Лёша отвечает "тепло"; в остальных случаях Лёша отвечает "холодно". (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ "тепло", а в остальных случаях услышит "холодно".)

  а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.

  б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).

  в) А за 22 попытки получится?

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., <i>n</i>},  не содержащие двух соседних чисел.

Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (<i>n</i> + 1)! – 1.