Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 3 с решениями
Докажите, что если 0 < <i>a, b</i> < 1, то <img align="middle" src="/storage/problem-media/109897/problem_109897_img_2.gif"> .
В треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) проведены медиана <i>BM</i> и биссектриса <i>BL</i>. Прямая, проходящая через точку <i>M</i> параллельно <i>AB</i>, пересекает <i>BL</i> в точке <i>D</i>, а прямая, проходящая через <i>L</i> параллельно <i>BC</i>, пересекает <i>BM</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что прямые <i>ED</i> и <i>BL</i> перпендикулярны.
Решите в целых числах уравнение (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 1 + 16<i>y</i>.
Окружность с центром <i>O</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>AC</i> в точке <i>K</i>. Вторая окружность, также с центром <i>O</i>, пересекает все стороны треугольника <i>ABC</i>. Пусть <i>E</i> и <i>F</i> – её точки пересечения со сторонами соответственно <i>AB</i> и <i>BC</i>, ближайшие к вершине <i>B; B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> – точки её пересечения со стороной <i>AC, B</i><sub>1</sub> – ближе к <i>A</i>. Докажите, что точки <i>B, K</i> и точка <i>P</i> пересечения отрезков <i>B</i><sub>2</sub><i...
В треугольнике <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) <i>K</i> и <i>M</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>AC, O</i> – точка пересечения биссектрис. Пусть <i>P</i> – точка пересечения прямых <i>KM</i> и <i>CO</i>, а точка <i>Q</i> такова, что <i>QP</i> ⊥ <i>KM</i> и <i>QM || BO</i>. Докажите, что <i>QO</i> ⊥ <i>AC</i>.
Дан угол с вершиной <i>B</i>. Возьмём произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на сторонах данного угла. Через две противоположные её вершины проведём касательные к описанной около неё окружности. Через <i>M</i> обозначим точку пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки <i>M</i>?
На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>параллелограмма<i> ABCD </i>взяты точки<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Диагональ<i> BD </i>пересекает стороны<i> AM </i>и<i> AN </i>треугольника<i> AMN </i>соответственно в точках<i> E </i>и<i> F </i>, разбивая его на две части. Докажите, что эти две части имеют одинаковые площади тогда и только тогда, когда точка<i> K </i>, определяемая условиями<i> EK || AD </i>,<i> FK || AB </i>, лежит на отрезке<i> MN </i>.
Окружность с центром <i>O</i> вписана в треугольник <i>ABC</i> и касается его сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>E, F</i> и <i>D</i> соответственно. Прямые <i>AO</i> и <i>CO</i> пересекают прямую <i>EF</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника <i>OMN</i>, точка <i>O</i> и точка <i>D</i> лежат на одной прямой.
Окружность с центром<i> O </i>вписана в четырёхугольник<i> ABCD </i>и касается его непараллельных сторон<i> BC </i>и<i> AD </i>в точках<i> E </i>и<i> F </i>соответственно. Пусть прямая<i> AO </i>и отрезок<i> EF </i>пересекаются в точке<i> K </i>, прямая<i> DO </i>и отрезок<i> EF </i>– в точке<i> N </i>, а прямые<i> BK </i>и<i> CN </i>– в точке<i> M </i>. Докажите, что точки<i> O </i>,<i> K </i>,<i> M </i>и<i> N </i>лежат на одной окружности.
Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Окружность, проходящая через точки<i> O</i>1,<i> O</i>2и<i> A </i>, вторично пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> D </i>, окружность<i> S</i>2– в точке<i> E </i>, а прямую<i> AB </i>– в точке<i> C </i>. Докажите, что<i> CD=CB=CE </i>.
Две окружности радиусов<i> R </i>и<i> r </i>касаются прямой<i> l </i>в точках<i> A </i>и<i> B </i>и пересекаются в точках<i> C </i>и<i> D </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>не зависит от длины отрезка<i> AB </i>.
В равнобедренном треугольнике<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>) проведена биссектриса<i> CD </i>. Прямая, перпендикулярная<i> CD </i>и проходящая через центр описанной около треугольника<i> ABC </i>окружности, пересекает<i> BC </i>в точке<i> E </i>. Прямая, проходящая через точку<i> E </i>параллельно<i> CD </i>, пересекает<i> AB </i>в точке<i> F </i>. Докажите, что<i> BE=FD </i>.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AC = BC</i>) точка <i>O</i> – центр описанной окружности, точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, а точка <i>D</i> на стороне <i>BC</i> такова, что прямые <i>OD</i> и <i>BI</i> перпендикулярны. Докажите, что прямые <i>ID</i> и <i>AC</i> параллельны.
Точки <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = BC</i>). Описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>A</i>, пересекаются в точках <i>A</i> и <i>D</i>. Докажите, что прямая <i>BD</i> касается описанной окружности треугольника <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>A</i>.
Окружность с центром <i>O</i>, вписанная в треугольник <i>ABC</i>, касается сторон <i>AC, AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K, M</i> и <i>N</i> соответственно. Медиана <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника пересекает <i>MN</i> в точке <i>D</i>. Докажите, что точка <i>O</i> лежит на прямой <i>DK</i>.
Окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> CA </i>в точках<i> M </i>,<i> N </i>и<i> K </i>соответственно. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> NK </i>, пересекает прямую<i> MN </i>в точке<i> D </i>. Прямая, проходящая через вершину<i> A </i>и параллельная<i> MN </i>, пересекает прямую<i> NK </i>в точке<i> E </i>. Докажите, что прямая<i> DE </i>содержит среднюю линию треугольника<i> ABC </i>.
Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность <i>S</i>. Пусть <i>A</i><sub>0</sub> – середина дуги <i>BC</i> окружности <i>S</i>, не содержащей точку <i>A, C</i><sub>0</sub> – середина дуги окружности <i>S</i>, не содержащей точку <i>C</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub> с центром <i>A</i><sub>0</sub> касается <i>BC</i>, окружность <i>S</i><sub>2</sub> с центром <i>C</i><sub>0</sub> касается <i>AB</i>. Докажите, что центр <i>I</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям...
На медиане <i>CD</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>E</i>. Окружность <i>S</i><sub>1</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>A</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>, проходящая через точку <i>E</i> и касающаяся прямой <i>AB</i> в точке <i>B</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>CMN</i> касается окружностей <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>.
Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Окружность ω<sub>1</sub> с центром <i>K</i> проходит через точки <i>A, O</i> и <i>C</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что точки <i>L</i> и <i>K</i> симметричны относительно прямой <i>MN</i>. Докажите, что <i>BL</i> ⊥ <i>AC</i>.