Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: касающиеся окружности и медиана (8–9 класс, Сонкин М.)

Задача 208146 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S1, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S2, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S1 и S2.

Решение

  Пусть окружность S1 вторично пересекает CD в точке F. Будем считать для определённости, что точка E лежит между D и F (возможно, точки E и F совпадают). По теореме о касательной и секущей  DF·DE = AD2 = BD2,  поэтому и окружность S2 проходит через точку F. Поскольку

CM·CA = CF·CE = CN·CB,  то  CM : CN = CB : CA,  значит треугольники CMN и CBA подобны. Следовательно,  ∠CMN = ∠CBA,  ∠CNM = ∠CAB.

  Через точкуMпроведём касательную к окружностиS1. ПустьP– точка пересечения этой касательной с прямойAB, аQ– точка на продолжении отрезкаPMза точкуM. Поскольку  PM = PA  (как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то  ∠QMC= ∠PMA= ∠MAP= ∠A= ∠CNM.   Значит, угол между лучомMQи хордойCMописанной окружностиSтреугольникаCMNравен вписанному в эту окружность углуCNM. Поэтому прямаяPQ– касательная к окружностиS, то есть общая касательная окружностейS1иS, проведённая в их общей точкеM. Следовательно, окружностиS1иSкасаются.   Аналогично касаются окружностиS2иS.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет