Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.
Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?
Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.
Точка<i> D </i>на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников<i> ABD </i>и<i> ACD </i>равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>, касающихся соответственно отрезков<i> BD </i>и<i> CD </i>, также равны.
<i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Известно, что отрезок <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекает среднюю линию, параллельную <i>AB</i>, в точке <i>C'</i>. Докажите, что отрезок <i>CC'</i> перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?
Для каких<i> α </i>существует функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109912/problem_109912_img_2.gif"> </i>, отличная от константы, такая, что <center><i>
f</i>(<i>α</i>(<i>x+y</i>))<i>=f</i>(<i>x</i>)<i>+f</i>(<i>y</i>)<i>;? </i></center>
Биссектрисы <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника <i>MIN</i> вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Пусть <i>I<sub>A</sub></i> и <i>I<sub>B</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно, а <i>P</i> – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников <i>I<sub>A</sub>CP</i> и <i>I<sub>B</sub>CP</i>, совпадает с центром окружности Ω.
На сторонах <i>AP</i> и <i>PD</i> остроугольного треугольника <i>APD</i> выбраны соответственно точки <i>B</i> и <i>C</i>. Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точки <i>H</i><sub>1</sub> и <i>H</i><sub>2</sub> являются ортоцентрами треугольников <i>APD</i> и <i>BPC</i> соответственно. Докажите, что если прямая <i>H</i><sub>1</sub><i>H</i><sub>2</sub> проходит через точку <i>X</i> пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABQ</i> и <i>CDQ</i>, то она проходит и через точку <i>Y</i> пересечения описанны...
Пусть точка<i> A' </i>лежит на одной из сторон трапеции<i> ABCD </i>, причём прямая<i> AA' </i>делит площадь трапеции пополам. Точки<i> B' </i>,<i> C' </i>и<i> D' </i>определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>симметричны относительно середины средней линии трапеции<i> ABCD </i>.
Существует ли правильная треугольная призма, которую можно оклеить (без наложений) различными равносторонними треугольниками? (Разрешается перегибать треугольники через рёбра призмы.)
Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98473/problem_98473_img_2.gif"> при любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i>.
Вневписанные окружности касаются сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что прямая, соединяющая середины <i>KL</i> и <i>AB</i>,
а) делит периметр треугольника <i>ABC</i> пополам;
б) параллельна биссектрисе угла <i>ACB</i>.
В остроугольном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр; $A_1$, $B_1$, $C_1$ – точки касания вписанной окружности с $BC$, $CA$, $AB$ соответственно; $E_A$, $E_B$, $E_C$ – середины $AH$, $BH$, $CH$ соответственно; окружность с центром $E_A$, проходящая через $A$, повторно пересекает биссектрису угла $A$ в точке $A_2$; точки $B_2$, $C_2$ определены аналогично. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.
В треугольнике $ABC$ вписанная окружность $\omega$ касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно, $P$ – произвольная точка этой окружности. Прямая $AP$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $AB_1C_1$ в точке $A_2$. Аналогично строятся точки $B_2$ и $C_2$. Докажите, что описанная около треугольника $A_2B_2C_2$ окружность касается $\omega$.
Точка $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $T$ – точка касания этой окружности со стороной $AC$. Пусть $P$ и $Q$ – ортоцентры треугольников $BAI$ и $BCI$. Докажите, что точки $T$, $P$, $Q$ лежат на одной прямой.
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.
Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$. а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?
б) Найдите все возможные количества различных длин.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника?
Правильный треугольник, лежащий в плоскости $\alpha$, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость $\beta$, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость $\gamma$ и получили снова правильный треугольник. Докажите, что
а) угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между плоскостями $\beta$ и $\gamma$;
б) плоскость $\beta$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\gamma$ по перпендикулярным друг другу прямым.
Пусть <i>Р</i> – произвольная точка внутри треугольника <i>АВС</i>. Обозначим через <i>А</i><sub>1</sub>, <i>В</i><sub>1</sub> и <i>С</i><sub>1</sub> точки пересечения прямых <i>АР, ВР</i> и <i>СР</i> соответственно со сторонами <i>ВС, СА</i> и <i>АВ</i>. Упорядочим площади треугольников <i>АВ</i><sub>1</sub><i>С</i><sub>1</sub>, <i>А</i><sub>1</sub><i>ВС</i><sub>1</sub>, <i>А</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub><i>С</i>, обозначив меньшую через <i>S</i><sub>1</sub>, средн...
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)