Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» - сложность 1-4 с решениями
По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел <i>a</i> и <i>b</i> верно неравенство <i>f</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>²) ≥ <i>f</i>(2<i>ab</i>).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.
Продолжения медиан <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i><sub>0</sub>, <i>B</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Оказалось, что площади треугольников <i>ABC</i><sub>0</sub>, <i>AB</i><sub>0</sub><i>C</i> и <i>A</i><sub>0</sub><i>BC</i> равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний.
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Дано натуральное число <i>n</i> ≥ 2. Рассмотрим все такие покраски клеток доски <i>n</i>×<i>n</i> в <i>k</i> цветов, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет и все <i>k</i> цветов встречаются. При каком наименьшем <i>k</i> в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?
Коэффициенты <i>a, b, c</i> квадратного трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.
Положительные числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют соотношению <i>ab + bc + ca</i> = 1. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65122/problem_65122_img_2.gif">
Пусть <i>AL</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i>AL</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>PLQ</i>, касается стороны <i>BC</i>.
На плоскости отметили все вершины правильного <i>n</i>-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого <i>n</i>-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге <i>n</i>-угольник разбился на <i>n</i> треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких <i>n</i> по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
Целые числа <i>a, x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>13</sub> таковы, что <i>a</i> = (1 + <i>x</i><sub>1</sub>)(1 + <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 + <i>x</i><sub>13</sub>) = (1 – <i>x</i><sub>1</sub>)(1 – <i>x</i><sub>2</sub>)...(1 – <i>x</i><sub>13</sub>). Докажите, что <i>ax</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>13</sub> = 0.
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4. Докажите, что (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i>. Пусть <i>BK</i> – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника <i>AKB</i> пересекает вторично сторону <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CB + CL = AB</i>.
После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени <i>T</i> рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента <i>T</i>?
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы угла <i>ABC</i> и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую <i>AC</i> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> соответственно. Из точек <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> провели касательные к окружности ω, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, отличные от прямой <i>AC</i>. Они касаются ω в точках <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub> соответственно. Докажите, что точки <i>B</i>, <i>K</i><sub>1</sub> и <i>K</i><sub>2</sub> лежат на одной прям...
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа <i>n, n</i> + 1, ..., <i>n</i> + 8. При каких <i>n</i> он сможет это сделать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65113/problem_65113_img_2.gif"></div>
Назовём натуральное число <i>интересным</i>, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого <i>k</i> из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем <i>k</i> это могло случиться?