Предположим, что оба корня трёхчлена неотрицательны, и придём к противоречию.   Первый способ. Подставим в условие  b = 0  и получим, что  f(a²) ≥ f(0)  при всех a. Следовательно,  f(t) ≥ f(0)  при любом положительном t. Из этого следует, в частности, что ветви параболы направлены вверх.

  По предположению вершина параболы имеет положительную абсциссу, назовём ее t₀. Но тогда  f(0) > f(t₀).  Противоречие.   Второй способ. Пусть t₀ – положительная абсцисса вершины параболы.

  Если ветви параболы направлены вверх, то наименьшее значение трёхчлена равно f(t₀). Подставив в условие  b = –a,  получим, что  f(2a²) ≥ f(–2a²)  при всех a. Следовательно,  f(t) ≥ f(–t) при любом положительном t; в частности,  f(t₀) ≥ f(– t₀),  что невозможно.

  Пусть ветви параболы направлены вниз. Тогда наибольшее значение трёхчлена равно  f(t₀). Подставив в условие  b = 2a,  получим, что

f(5a²) ≥ f(4a²)  при всех a. Следовательно,  f(^5t/₄) ≥ f(t)  при любом положительном t; в частности,  f(^5t₀/₄) ≥ f(t₀),  что невозможно.   Третий способ. Заметим, что для любых чисел  0 ≤ p ≤ q  можно подобрать такие неотрицательные числа a и b, что  p = 2ab  и  q = a² + b².  Следовательно, для любых чисел  0 ≤ p ≤ q  имеем неравенство  f(p) ≤ f(q).  Таким образом, на положительной полуоси трёхчлен возрастает. Поэтому ветви его графика направлены вверх. Но тогда он не может иметь два неотрицательных корня, поскольку это противоречит возрастанию.

Ответ задачи отсутствует