Олимпиадные задачи из источника «2013-2014» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из <i>n</i> попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если <i>A</i> бьёт <i>B</i>, а <i>B</i> бьёт <i>C</i>, то может оказаться, что <i>C</i> бьёт <i>A</i>). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.

Исходно на доске написаны многочлены  <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + 5  и  <i>x</i>² – 4<i>x</i>.  Если на доске уже написаны многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>), разрешается дописать на неё многочлены  <i>f</i>(<i>x</i>) ± <i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>),  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>))  и  <i>cf</i>(<i>x</i>),  где <i>c</i> – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  <i>xⁿ</i> – 1  (при...

Сфера ω проходит через вершину <i>S</i> пирамиды <i>SABC</i> и пересекает рёбра <i>SA, SB</i> и <i>SC</i> вторично в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды <i>SABC</i>, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (<i>ABC</i>). Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно...

Натуральное число <i>n</i> назовём <i> хорошим</i>, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  <i>n</i> + 1.

Найдите все хорошие натуральные числа.

Положительные рациональные числа <i>a</i> и <i>b</i> записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа  <i>a – b</i>  длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном <i>k</i> длина минимального периода десятичной записи числа  <i>a + kb</i>  может также оказаться равной 15?

Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске <i>n×n</i> (где  <i>n</i> > 1).  Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?

Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных <i>x</i> верно неравенство   |cos <i>x</i>| + |cos α<i>x</i>| > sin <i>x</i> + sin α<i>x</i>?

На плоскости дано <i>n</i> выпуклых попарно пересекающихся <i>k</i>-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64776/problem_64776_img_2.gif">   из этих <i>k</i>-угольников.

Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что  <i>PQ = ^AC</i>/₂.  Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.

Треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>AM = CN</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.

В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a_i</i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это  2|<i>x – y</i>|  рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более  |<i>a</i>₁ – 1| + |<i>a</i>₂ – 2| + ... + |<i>a_n – n</i>|  рублей.

Дана функция <i>f</i>, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых <i>x</i> и <i>y</i>, таких, что  <i>x > y</i>,  верно неравенство  (<i>f</i>(<i>x</i>))² ≤ <i>f</i>(<i>y</i>).  Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке  [0,1].

Назовём натуральное число <i>хорошим</i>, если среди его делителей есть ровно два простых числа.

Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

Дан многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>_2<i>n</i><i>x</i>^2<i>n</i> + <i>a</i>_{2<i>n</i>–1}<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀,  у которого каждый коэффициент <i>a_i</i> принадлежит отрезку  [100, 101].

При каком минимальном натуральном <i>n</i> у такого многочлена может найтись действительный корень?

Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все три числа  <i>x + yz,  y + zx</i>  и  <i>z + xy</i>  рациональны, а  <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1.  Докажите, что число <i>xyz</i>² также рационально.

Плоскость α пересекает рёбра <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> треугольной пирамиды <i>ABCD</i> в точках <i>K, L, M</i> и <i>N</i> соответственно. Оказалось, что двугранные углы

∠(<i>KLA, KLM</i>),  ∠(<i>LMB, LMN</i>),  ∠(<i>MNC, MNK</i>)  и  ∠(<i>NKD, NKL</i>)  равны. (Через  ∠(<i>PQR, PQS</i>)  обозначается двугранный угол при ребре <i>PQ</i> в тетраэдре <i>PQRS</i>.) Докажите, что проекции вершин <i>A, B, C</i> и <i>D</i> на плоскость α лежат на одной окружности.

Все клетки квадратной таблицы <i>n</i>×<i>n</i> пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до <i>n</i>². Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит фишку в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую фишку на какую-то клетку, либо переставить фишку из клетки с номером <i>a</i> ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем <i>a</i>. Каждый раз, когда фишка попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить фишку на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество фишек потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?

На доске написано выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64635/problem_64635_img_2.png">,  где <i>a, b, c, d, e, f</i> – натуральные числа. Если число <i>a</i> увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число <i>c</i> на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число <i>e</i> на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение <i>bdf</i>?

Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.

Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку – не больше одной. Докажите, что у Васи есть способ поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.

По кругу стоят 10¹⁰⁰⁰ натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.

Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 10¹⁰⁰⁰ последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность Ω с центром <i>O</i>. Окружность Ω₁, построенная на <i>AO</i> как на диаметре, пересекает описанную окружность Ω₂ треугольника <i>OBC</i> в точке <i>S</i>, отличной от <i>O</i>. Касательные к Ω в точках <i>B</i> и <i>C</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>A, S</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.

На доске написано уравнение  <i>x</i>³ + *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0.  Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂. Аналогично на стороне <i>BC</i> выбраны точки <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂. Оказалось, что отрезки <i>A</i>₁<i>B</i>₂, <i>B</i>₁<i>C</i>₂ и <i>C</i>₁<i>A</i>₂ имеют равные длины, пересекаются в одной точ...

В языке племени АУ две буквы – "a" и "y". Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не меньше одной и не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество слов в таком языке.