Лемма. Пусть P и P' – пересекающиеся выпуклые многоугольники, гомотетичные с положительным коэффициентом. Тогда одна из вершин одного из них лежит в другом.

  Доказательство. Если один из многоугольников полностью лежит в другом, то утверждение очевидно. В противном случае найдётся сторона AB многоугольника P, пересекающая границу P'. Если P' содержит одну из точек A или B, то утверждение доказано. В ином случае P' пересекает AB по отрезку, лежащему внутри AB.

  Заметим, что у P' есть вершины по обе стороны от прямой AB. Рассмотрим сторону A'B' многоугольника P', соответствующую AB. Заметим, что A'B' || AB.  Возьмём произвольную вершину C' многоугольника P', лежащую по другую сторону от прямой AB, нежели сторона A'B'. Пусть C – вершина многоугольника P, соответствующая C'. Тогда C' лежит в треугольнике ABC, так как относительно каждой из прямых AB, BC и AC она находится по ту же сторону, что и этот треугольник. Тем самым C' принадлежит P.

  Пусть P₁, ..., P_n – данные k-угольники, и пусть A_i1, ..., A_ik – вершины многоугольника P_i. Для каждой вершины A_ij посчитаем количество a_ij многоугольников P_s  (s ≠ i),  в которых она лежит. По лемме каждая пара многоугольников вносит единичный вклад хотя бы в одну из величин a_ij. Значит,  a₁₁ + ... + a_nk ≥ ½ n(n – 1).  Поэтому одно из чисел a_ij не меньше     Так как вершина A_ij лежит в многоугольнике P_i и ещё в a_ij других многоугольниках, она принадлежит хотя бы     многоугольникам.

Ответ задачи отсутствует