Олимпиадные задачи из источника «2006-2007» для 10 класса - сложность 1-5 с решениями

Окружность проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Отрезки <i>CD</i> и <i>BE</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники <i>ADE</i> и <i>ODE</i>. Докажите, что середина меньшей дуги <i>DE</i> лежат на прямой <i>MN</i>.

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> соответственно, точка <i>H</i> – основание высоты, опущенной из вершины <i>B</i>. Описанные окружности треугольников <i>AHN</i> и <i>CHM</i> пересекаются в точке <i>P</i>   (<i>P ≠ H</i>).  Докажите, что прямая <i>PH</i> проходит через середину отрезка <i>MN</i>.

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BB</i>₁. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>B</i>₁ на <i>BC</i>, пересекает дугу <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Перпендикуляр опущенный из точки <i>B</i> на <i>AK</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>L</i>. Докажите что точки <i>K, L</i> и середина дуги <i>AC</i> (не содержащей точку <i>B</i>) лежат на одной прямой.

Приведённые квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что уравнения  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  не имеют вещественных корней.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.

У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.

Две окружности<i> σ₁ </i>и<i> σ₂ </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> PQ </i>и<i> RS </i>– отрезки общих внешних касательных к этим окружностям (точки<i> P </i>и<i> R </i>лежат на<i> σ₁ </i>, точки<i> Q </i>и<i> S </i>– на<i> σ₂ </i>). Оказалось, что<i> RB|| PQ </i>. Луч<i> RB </i>вторично пересекает<i> σ₂ </i>в точке<i> W </i>. Найдите отношение<i> RB/BW </i>.

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из <i>N</i> цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем <i>N</i> фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Дан многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀<i>xⁿ + a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x + a_n</i>.  Положим  <i>m</i> = min {<i>a</i>₀, <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁ + ... + <i>a_n</i>}.

Докажите, что  <i>P</i>(<i>x</i>) ≥ <i>mxⁿ</i>...

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

В стране есть <i>N</i> городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого <i>k</i>  (2 ≤ <i>k ≤ N</i>)  при любом выборе <i>k</i> городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2<i>k</i> – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

Существуют ли такие ненулевые числа <i>a, b, c</i>, что при любом  <i>n</i> > 3  можно найти многочлен вида  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + ... + ax</i>² + <i>bx + c</i>,  имеющий ровно <i>n</i> (не обязательно различных) целых корней?

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Отрезок <i>AA</i>₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке <i>Q</i>. Прямая <i>l</i> параллельна <i>BC</i> и проходит через <i>A</i>. Прямые <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>R</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i...

Докажите, что при<i> k></i>10в произведении <center><i>

f</i>(<i>x</i>)<i> = cos x cos </i>2<i>x cos </i>3<i>x .. cos </i>2<i>^k x

</i></center> можно заменить один<i> cos </i>на<i> sin </i>так, что получится функция<i> f₁</i>(<i>x</i>), удовлетворяющая при всех действительных<i> x </i>неравенству<i> |f₁</i>(<i>x</i>)<i>|<img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_2.gif"> <img src="/storage/problem-media/111826/problem_111826_img_3.gif"> </i>.

В классе учится 15 мальчиков и 15 девочек. В день 8 Марта некоторые мальчики позвонили некоторым девочкам и поздравили их с праздником (никакой мальчик не звонил одной и той же девочке дважды). Оказалось, что детей можно единственным образом разбить на 15 пар так, чтобы в каждой паре оказались мальчик с девочкой, которой он звонил. Какое наибольшее число звонков могло быть сделано?

В натуральном числе <i>A</i> переставили цифры, получив число <i>B</i>. Известно, что   <img align="top" src="/storage/problem-media/111791/problem_111791_img_2.gif">   Найдите наименьшее возможное значение <i>n</i>.

Среди 11 внешне одинаковых монет 10 настоящих, весящих по 20 г, и одна фальшивая, весящая 21 г. Имеются чашечные весы, которые оказываются в равновесии, если груз на правой их чашке ровно вдвое тяжелее, чем на левой. (Если груз на правой чашке меньше, чем удвоенный груз на левой, то перевешивает левая чашка, если больше, то правая.) Как за три взвешивания на этих весах найти фальшивую монету?

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный куб натурального числа.

Докажите, что она содержит и точный куб, не являющийся точным квадратом.

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.