Олимпиадные задачи по математике
Окружность проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> и пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Отрезки <i>CD</i> и <i>BE</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники <i>ADE</i> и <i>ODE</i>. Докажите, что середина меньшей дуги <i>DE</i> лежат на прямой <i>MN</i>.
Числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> таковы, что <i>x</i><sub>1</sub> ≥ <i>x</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>x<sub>n</sub></i> ≥ 0 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111800/problem_111800_img_2.gif"> Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111800/problem_111800_img_3.gif">
Четырёхугольник <i>ABCD</i> с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что точка <i>O</i> совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника <i>ABCD</i> тогда и только тогда, когда <i>OA·OC = OB·OD</i>.