Олимпиадные задачи из источника «2005-2006» для 7-8 класса

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что  ∠<i>CED</i> > 45°.

При изготовлении партии из  <i>N</i> ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

Медиану <i>AA</i>₀ треугольника <i>ABC</i> отложили от точки <i>A</i>₀ перпендикулярно стороне <i>BC</i> во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через <i>A</i>₁. Аналогично строятся точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Найдите углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если углы треугольника <i>ABC</i> равны 30°, 30° и 120°.

В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?

На доске записано произведение <i>a</i>₁<i>a</i>₂... <i>a</i>₁₀₀, где <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₀ могло быть?

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число <i>N</i>, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из <i>N</i> вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

Число <i>N</i>, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.

Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.

Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную окружность этого треугольника в точках<i> A₀ </i>и<i> C₀ </i>соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>параллельно стороне<i> AC </i>, пересекается с прямой<i> A₀C₀ </i>в точке<i> P </i>. Докажите, что прямая<i> PB </i>касается описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

Известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110215/problem_110215_img_2.gif">   и  <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + ... + <i>x</i>₆ = 0.  Докажите, что <i>x</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₆ ≤ ½.

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовём клетку <i>правильной</i>, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа <i>a</i> и <i>b</i>, что оба числа  <i>a + b</i>  и  <i>aⁿ + bⁿ</i>  – целые?

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника <i> ABC </i> проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Даны  <i>n</i> > 1  приведённых квадратных трёхчленов  <i>x</i>² – <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  ...,  <i>x</i>² – <i>a_nx + b_n</i>,  причём все 2<i>n</i> чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n, b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  различны.

Может ли случиться, что каждое из чисел  <i>a</i>₁, ..., <i>a_n, b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  является корнем одного из этих трёхчленов?

Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета <i>хорошей</i>, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.)  Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 6⁸.

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?

Докажите, что если натуральное число <i>N</i> представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.

Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Прямые <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезок, соединяющий <i>P</i> с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, параллелен <i>AC</i>.

В гоночном турнире 12 этапов и <i>n</i> участников. После каждого этапа все участники в зависимости от занятого места <i>k</i> получают баллы <i>a_k</i> (числа <i>a_k</i> натуральны, и  <i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > ... > <i>a_n</i>).  При каком наименьшем <i>n</i> устроитель турнира может выбрать числа <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> так, что после предпоследнего этапа при любом возможном распределении мест хотя бы двое участников имели шансы занять первое место.

Произведение квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a_nx + b_n</i>  равно многочлену  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>c</i>₁<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + <i>c</i>₂<i>x</i>^{2<i>n</i>–2} + ... + <i>c</i><sub>2<i>n</i>–1</...

Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?

На сторонах <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>P, Q, R</i> соответственно таким образом, что  <i>AP = CQ</i>  и четырёхугольник <i>RPBQ</i>– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>C</i> пересекают прямые <i>RP</i> и <i>RQ</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что  <i>RX = RY</i>.