Олимпиадные задачи из источника «2004-2005» для 9 класса - сложность 3-4 с решениями

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны соответственно вершинам <i>B</i> и <i>C</i> относительно прямых <i>AC</i> и <i>AB</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ABB'</i> и <i>ACC'</i>, отличная от <i>A</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>PA</i>.

<i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Известно, что отрезок <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекает среднюю линию, параллельную <i>AB</i>, в точке <i>C'</i>. Докажите, что отрезок <i>CC'</i> перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.

Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов. б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.

Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.

Найдите все такие пары  (<i>x, y</i>)  натуральных чисел, что  <i>x + y = aⁿ,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>a^m</i>  для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.

Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {<i>a_n</i>} из натуральных чисел, что произведение <i>a_n...a</i>_<i>n</i>+9 делится на сумму

<i>a_n +... + a</i>_<i>n</i>+9  при любом натуральном <i>n</i>?

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.

Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

В треугольнике <i>ABC</i>  (<i> AB < BC</i>)  точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>M</i> – середина стороны <i>AC, N</i> – середина дуги <i> ABC </i> описанной окружности.

Докажите, что  ∠<i>IMA</i> = ∠<i>INB</i>.

Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник, стороны которого образуют углы в 45° с линиями сетки, а вершины не лежат на линиях сетки.

Может ли каждую сторону прямоугольника пересекать нечётное число линий сетки?

Найдите все такие пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>aⁿ + bⁿ</i>  является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.

Арифметическая прогрессия <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., состоящая из натуральных чисел, такова, что при любом <i>n</i> произведение <i>a_na</i>_<i>n</i>+31 делится на 2005.

Можно ли утверждать, что все члены прогрессии делятся на 2005?

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110180/problem_110180_img_2.gif">   для  <i>x</i> > 0  и натурального <i>n</i>.

Каких точных квадратов, не превосходящих 10²⁰, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади<i> S </i>отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через<i> S' </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/110176/problem_110176_img_2.gif"><</i>3.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i> с целыми коэффициентами и любого натурального <i>k</i> существует такое натуральное <i>n</i>, что  <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>)  делится на <i>k</i>.

Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2&sup2, ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение  <i>x</i>&sup2 – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0,  где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.

Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

Сумма чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, каждое из которых больше единицы, равна <i>S</i>, причём   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_2.gif">   для любого  <i>i</i> = 1, 2, 3.

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/109832/problem_109832_img_3.gif">

Леша поставил в клетки таблицы 22×22 натуральные числа от 1 до 22².

Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Натуральные числа <i>x</i> и <i>y</i> таковы, что  2<i>x</i>² – 1 = <i>y</i>¹⁵.  Докажите, что если  <i>x</i> > 1,  то <i>x</i> делится на 5.

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?