Олимпиадная задача: разбиение степеней двойки и целые корни уравнения

  Если  x₁ ≤ x₂  – корни уравнения, то  x₁, x₂ N  и  x₁ + x₂ = S(A),  x₁x₂ = S(B),  поэтому   (x₁ + 1)(x₂ + 1) = S(B) + S(A) + 1 = 1 + 2 + 4 + ... + 2²⁰⁰⁵ + 1 = 2²⁰⁰⁶.   Значит,  x₁ + 1 = 2^k,  x₂ + 1 = 2^2006–k,  где k может принимать значения 1, 2, ..., 1003.

  Наоборот, пусть x₁, x₂ – числа такого вида. Тогда они являются корнями уравнения  x&sup2 – px + q = 0,  где  p = 2^k + 2^2006–k – 2,  q = 2²⁰⁰⁶ – 1 – p.

  Но число p имеет единственное разложение в сумму различных степеней двойки, и в этом разложении степени двойки не превосходят 2²⁰⁰⁵, а двоичное разложение q содержит 1 на тех местах, где у числа p – нули, так как  p + q = 2²⁰⁰⁶ – 1.  Итак, для каждого k от 1 до 2003 существует единственное разбиение  (A, B),  дающее указанные корни x₁ и x₂.

1003 способами.