Олимпиадная задача по комбинаторике для 8-10 классов — Вася, Петя и 365 карточек

  Лемма. Пусть за x рублей Вася смог выложить в нужном порядке на стол некоторые  N – 1  карточку, где  N ≤ 3^k.  Тогда он сможет добавить к выложенным карточкам еще одну, потратив при этом еще не более k рублей.

  Доказательство проведём индукцией по k. База  (k = 1)  очевидна.

  Шаг индукции. Пусть  N = 3m – r ≤ 3^k  (r = 0, 1, 2).  Первый рубль Вася потратит на то, чтобы правильно выложить на стол N-ю карточку и карточки A и B , уже лежащие на местах m и 2m. Тогда N-я карточка попадёт в одну из трёх частей, на которые другие две карточки разбивают уже выложенную на стол последовательность. Но карточки A и B разбивают лежащую на столе последовательность из  N – 1  карточки на куски размером не более чем по

m – 1 ≤ 3^k–1 – 1  карточек, а значит, Васе осталось определить место карточки с номером N среди не более чем  3^k–1 – 1  карточек, потратив не более чем

k – 1  рубль, а это можно сделать по предположению индукции.   Теперь, используя лемму, подсчитаем Васины затраты на выкладывание всех 365 карточек. На выкладывание первых трёх карточек Вася потратит 1 рубль. На добавление к ним карточек с номерами от 4 до 9 (всего 6 карточек) Вася потратит не более 2 рублей на каждую. На карточки с 10-й по 27-ю – не более 3 рублей на каждую, с 28-й по 81-ю – не более 4 рублей, с 82-й по 243-ю – не более 5 рублей и, наконец, на карточки с номерами от 244 до 365 – не более 6 рублей на каждую.

  Итого Вася сможет выложить все карточки на стол в нужном порядке, потратив не более чем  1 + 6·2 + 18·3 + 54·4 + 162·5 + 122·6 = 1845  рублей.

Может.