Олимпиадные задачи по математике

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

Найдите все такие нечётные натуральные  <i>n</i> > 1,  что для любых взаимно простых делителей <i>a</i> и <i>b</i> числа <i>n</i> число  <i>a + b</i> – 1  также является делителем <i>n</i>.

Найдите все такие натуральные числа <i>n</i>, что для любых двух его взаимно простых делителей <i>a</i> и <i>b</i> число  <i>a + b</i> – 1  также является делителем <i>n</i>.

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке <i>a, b, c</i>, для которой  <i>a</i> + 99<i>b = c</i>,  нашлись два числа из одного подмножества.