Назад

Олимпиадная задача по многочленам: общий корень квадратных уравнений, 8–9 класс

Задача 209723 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

Авторы:
Агаханов Н. Х.
Разделы:
Многочлены
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 1999-2000 Заключительный этап
Количество версий:
3
Решение

Общий корень x1 первых двух уравнений удовлетворяет уравнению  (a – b)x1 + (1 – c) = 0,  то есть  x1 = a–b/c–1.  Аналогично общий корень x2 последних двух уравнений равен  c–1/a–b.  Поскольку  x1x2 = 1,  то  x2 – корень первого уравнения, то есть – общий корень уравнений  x² + ax + 1 = 0  и  x² + x + a = 0.  Отсюда  (a – 1)(x2 – 1) = 0.  Но при  a = 1  эти уравнения не имеют действительных корней. Значит,  x2 = 1,  тогда  a = – 2,  b + c = – 1.

Ответ

–3.

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет