Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» - сложность 2-3 с решениями
Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?
Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.). <div align="center"> <img src="/storage/problem-media/109877/problem_109877_img_2.gif"> </div>Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.
Найдите все такие простые числа <i>p</i>, что число <i>p</i>² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
Все стороны и диагонали правильного 12-угольника раскрашиваются в 12 цветов (каждый отрезок – одним цветом).
Существует ли такая раскраска, что для любых трёх цветов найдутся три вершины, попарно соединенные между собой отрезками этих цветов?
Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?
Докажите, что для любых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109871/problem_109871_img_2.gif">
<i>N</i>³ единичных кубиков просверлены по диагонали и плотно нанизаны на нить, после чего нить связана в кольцо (то есть вершина первого кубика соединена с вершиной последнего). При каких <i>N</i> такое ожерелье из кубиков можно упаковать в кубическую коробку с ребром длины <i>N</i>?
Рассматриваются такие квадратичные функции <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, что <i>a < b</i> и <i>f</i>(<i>x</i>) ≥ 0 для всех <i>x</i>.
Какое наименьшее значение может принимать выражение <sup><i>a+b+c</i></sup>/<sub><i>b–a</i></sub> ?
Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что НОК(<i>m, n</i>) + НОД(<i>m, n</i>) = <i>m + n</i>. Докажите, что одно из чисел <i>m</i> или <i>n</i> делится на другое.
Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=<img src="/storage/problem-media/109863/problem_109863_img_2.gif"> </i>. Найдите<i>f</i>(<i>.. f</i>(<i>f</i>(19))<i>..</i>)<i></i>95<i> раз</i>.
Числовая последовательность<i> a<sub>0</sub> </i>,<i> a<sub>1</sub> </i>,<i> a<sub>2</sub> </i>, такова, что при всех неотрицательных<i> m </i>и<i> n </i>(<i> m<img src="/storage/problem-media/109861/problem_109861_img_2.gif"> n </i>) выполняется соотношение <center><i>
a<sub>m+n</sub>+a<sub>m-n</sub>=<img src="/storage/problem-media/109861/problem_109861_img_3.gif"></i>(<i>a</i>2<i>m+a</i>2<i>n</i>)<i>.
</i></center> Найдите<i> a</i>1995, если<i> a<sub>1</sub>=</i>1.
В прямоугольном параллелепипеде одно из сечений является правильным шестиугольником. Докажите, что этот параллелепипед – куб.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> на высоте <i>BK</i> как на диаметре построена окружность <i>S</i>, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. К окружности <i>S</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника <i>ABC</i>, проведённую из вершины <i>B</i>.
Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Окружность, проходящая через точки<i> O</i>1,<i> O</i>2и<i> A </i>, вторично пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> D </i>, окружность<i> S</i>2– в точке<i> E </i>, а прямую<i> AB </i>– в точке<i> C </i>. Докажите, что<i> CD=CB=CE </i>.
Две окружности радиусов<i> R </i>и<i> r </i>касаются прямой<i> l </i>в точках<i> A </i>и<i> B </i>и пересекаются в точках<i> C </i>и<i> D </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>не зависит от длины отрезка<i> AB </i>.