Олимпиадные задачи из источника «31 турнир (2009/2010 год)» для 11 класса

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

  А если богатырей

  б) десять?

  в) тридцать три?

  а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число  <i>a</i> ≠ 1,  и разрезать этот кусок в отношении  1 : <i>a</i>  по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т. д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

  б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное  <i>a</i> ≠ 1.

Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить  12345 + 6 + 789 = 13140).  С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что  <i>IM</i> : <i>AB = IN</i> : <i>CD</i>.

Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.

На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)

Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых?

На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу на 45° вокруг любого из её концов.

Можно ли, сделав несколько таких поворотов, добиться того, чтобы игла вернулась на исходное место, но при этом её концы поменялись местами?

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения <i>P</i>(2) и <i>P</i>(<i>P</i>(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Можно ли поверхность октаэдра оклеить несколькими правильными шестиугольниками без наложений и пробелов?

Про функцию <i>f</i>(<i>x</i>) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком  <i>y = f</i>(<i>x</i>)  столько же общих точек, сколько с параболой  <i>y = x</i>².  Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) ≡ <i>x</i>².

Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены<i>N</i>одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до<i>N</i>штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все<i>N</i>селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких<i>N</i>Али-Баба сможет открыть пещеру?

Даны треугольник <i>XYZ</i> и выпуклый шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Стороны <i>AB, CD</i> и <i>EF</i> параллельны и равны соответственно сторонам <i>XY, YZ</i> и <i>ZX</i>. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон <i>BC, DE</i> и <i>FA</i> не меньше площади треугольника <i>XYZ</i>.

Обозначим через [<i>n</i>]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего <i>n</i> сомножителей, в последнем – <i>n</i> единиц.

Докажите, что  [<i>n</i> + <i>m</i>]!  делится на произведение [<i>n</i>]!·[<i>m</i>]!.

Из <i>N</i> прямоугольных плиток (возможно, неодинаковых) составлен прямоугольник с неравными сторонами. Докажите, что можно разрезать каждую плитку на две части так, чтобы из <i>N</i> частей можно было сложить квадрат, а из оставшихся <i>N</i> частей – прямоугольник.

100 пиратов сыграли в карты на золотой песок, а потом каждый посчитал, сколько он в сумме выиграл либо проиграл. У каждого проигравшего хватает золота, чтобы расплатиться. За одну операцию пират может либо раздать всем поровну золота, либо получить с каждого поровну золота. Докажите, что можно за несколько таких операций добиться того, чтобы каждый получил (в сумме) свой выигрыш либо выплатил проигрыш. (Разумеется, общая сумма выигрышей равна сумме проигрышей.)

В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше 10 платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать 10 компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади <i>S</i>. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь <i>S</i>.

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100¹⁰⁰ ?

В пространстве расположена замкнутая шестизвенная ломаная <i>ABCDEF</i>, противоположные звенья которой параллельны  (<i>AB || DE,  BC || EF</i>  и

<i>CD || FA</i>).  При этом <i>AB</i> не равно <i>DE</i>. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной плоскости.

На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека <i>объявляются</i> друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.

Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.