Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс»

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?

  А если богатырей

  б) десять?

  в) тридцать три?

  а) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число  <i>a</i> ≠ 1,  и разрезать этот кусок в отношении  1 : <i>a</i>  по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т. д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?

  б) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное  <i>a</i> ≠ 1.

Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить  12345 + 6 + 789 = 13140).  С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что  <i>IM</i> : <i>AB = IN</i> : <i>CD</i>.

Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.

На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)

Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых?