Олимпиадная задача по планиметрии для 10–11 классов: площадь отражённого 2009-угольника

Пусть A₁A₂...A₂₀₀₉ – правильный 2009-угольник со стороной 1, φ – его угол, P – периметр, M – 2009-угольник площади S, a_i – расстояние от A_i до ближайшей по часовой стрелке отмеченной вершины  (i = 1, ..., 2009).  Сторона многоугольника M отсекает от угла A_i правильного 2009-угольника треугольник площади  0,5sin φ (1 – a_i–1)a_i.  Суммируя отсеченные площади, получаем  0,5 sin φ ((a₁ + a₂ + ... + a₂₀₀₉) – (a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a₂₀₀₉a₁)).  После отражения сторона нового 2009-угольника отсекает от угла A_i треугольник площади  0,5 sin φ a_i–1(1 – a_i).  Суммируя отсечённые площади, получаем тот же результат.

Ответ задачи отсутствует