Олимпиадные задачи из источника «24 турнир (2002/2003 год)» для 7-8 класса

Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной <i>n</i>, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого <i>n</i> выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?

Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.

Какое наибольшее число клеток доски 9×9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?

В однокруговом турнире участвовали 15 команд.

  а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.

  б) Могла ли такая игра быть единственной?

Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>R</i> – радиус описанной окружности, <i>r</i> – радиус вписанной окружности, <i>a</i> – длина наибольшей стороны, <i>h</i> – длина наименьшей высоты. Докажите, что  ^<i>R</i>/<i>_r > ^a</i>/_<i>h</i>.

Вася пишет на доске квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  с натуральными коэффициентами <i>a, b, c</i>. После этого Петя, если хочет, может заменить один или два знака "+" на "–". Если у получившегося уравнения оба корня целые, то выигрывает Вася, если же корней нет или хотя бы один из них нецелый – Петя. Может ли Вася подобрать коэффициенты уравнения так, чтобы наверняка выиграть у Пети?

Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.

Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?

На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, так что  <i>AK + LC = KL</i>.  Из середины <i>M</i> отрезка <i>KL</i> провели прямую, параллельную <i>BC</i>, и эта прямая пересекла сторону <i>AC</i> в точке <i>N</i>. Найдите величину угла <i>KNL</i>.

Двое играющих по очереди красят стороны <i>n</i>-угольника. Первый может покрасить сторону, которая граничит с нулём или двумя покрашенными сторонами, второй – сторону, которая граничит с одной покрашенной стороной. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При каких <i>n</i> второй может выиграть, как бы ни играл первый?

2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться? б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до <i>n</i>. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна <i>n</i>!·<i>k</i>, где <i>k</i> – целое число. Докажите, что карточки можно разложить на <i>k</i> групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась <i>n</i>!.

Выпуклый <i>N</i>-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого <i>N</i> найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>P</i> так, что  ∠<i>ABP</i> = ∠<i>ACP</i>,  а  ∠<i>CBP</i> = ∠<i>CAP</i>. Докажите, что <i>P</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?

В банке работают 2002 сотрудника. Все сотрудники пришли на юбилей, и их рассадили за один круглый стол. Известно, что зарплаты сидящих рядом различаются на 2 или 3 доллара. Какой наибольшей может быть разница двух зарплат сотрудников этого банка, если известно, что все зарплаты сотрудников различны?

Дан некоторый угол и точка <i>A</i> внутри него. Можно ли провести через точку <i>A</i> три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?

На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник, и как он должен при этом играть?

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере &frac23; задач этой контрольной оказались <i>трудными</i>: каждую такую задачу не решили по крайней мере &frac23; школьников. Известно также, что по крайней мере &frac23; школьников класса написали контрольную <i>хорошо</i>: каждый такой школьник решил по крайней мере &frac23; задач контрольной. Могло ли такое быть? Изменится ли ответ, если везде в условии заменить &frac23; на   б) ¾;   в) ⁷/₁₀?

Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?