Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс»

В окружность вписан прямоугольный треугольник <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i>. Пусть <i>K</i> – середина дуги <i>BC</i>, не содержащей точку <i>A, N</i> – середина отрезка <i>AC, M</i> – точка пересечения луча <i>KN</i> с окружностью. В точках <i>A</i> и <i>C</i> проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке <i>E</i>. Докажите, что

∠<i>EMK</i> = 90°.

Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... такова, что

<i>P</i>(<i>a</i>₁) = 0,  <i>P</i>(<i>a</i>₂) = <i>a</i>₁,  <i>P</i>(<i>a</i>₃) = <i>a</i>₂,  и т.д. Какую степень может иметь <i>P</i>(<i>x</i>)?

Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i>. В ней <i>R</i> – радиус описанной сферы, <i>r</i> – радиус вписанной сферы, <i>a</i> – длина наибольшего ребра, <i>h</i> – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что  ^<i>R</i>/<i>_r > ^a</i>/_<i>h</i>.