Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс»
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Назада) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться? б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).
Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.
Окружности Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Через точку <i>B</i> проведена прямая, вторично пересекающая Ω<sub>1</sub> и Ω<sub>2</sub> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Прямая <i>l</i><sub>1</sub> касается Ω<sub>1</sub> в точке <i>Q</i> и параллельна прямой <i>AM</i>. <i>R</i> – вторая точка пересечения прямой <i>QA</i> с Ω<sub>2</sub>. Докажите, что
а) касательная <i>l</i><sub>2</sub>, проведённая к Ω<sub>2</sub> в точке <i>R</i>, параллельна <i>AK</i>.;
б) прямые <i...
Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.
Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до <i>n</i>. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна <i>n</i>!·<i>k</i>, где <i>k</i> – целое число. Докажите, что карточки можно разложить на <i>k</i> групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась <i>n</i>!.
Выпуклый <i>N</i>-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого <i>N</i> найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.
Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?