Олимпиадная задача Шаповалова по последовательностям: сколько членов нечётные?
Задача
В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.
Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?
Решение
Пусть a1, ..., a5 – последовательные нечётные члены последовательности. Последние цифры этих чисел нечётны, а наибольшие цифры чисел a1, ..., a4 чётны и, поэтому, не последние. При переходе к следующему числу наибольшая цифра предыдущего не меняется (в противном случае она увеличится на 1 и станет нечётной), то есть a1, ..., a5 – арифметическая прогрессия, разность которой – чётная ненулевая цифра d. Числа 0, d, 2d, 3d, 4d оканчиваются разными цифрами (поскольку дают разные остатки от деления на 5). Прибавляя к этим числам a1, видим, что и a1, ..., a5 оканчиваются разными цифрами. Значит, одно из чисел оканчивается на 9. Но это может быть только a5, и, значит, следущий член последовательности – чётное число.
Пять нечётных членов подряд встречаются, например, в последовательности: 807, 815, 823, 831, 839.
Ответ
5 членов.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь