Олимпиадная задача о загаданных числах Саши и Маши — теория чисел, 8-11 класс
Задача
Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
Решение
Оба загадали делители числа 2002 (иначе кто-то понял бы, что 2002 – сумма загаданных чисел, и определил бы второе число). Однако, даже зная, что Саша загадал делитель, Маша не может исключить, что 2002 – сумма. Но сумма делителей равна 2002 только в случае 1001 + 1001 (другие делители равны 2002 либо меньше 1001). Значит, Маша загадала 1001 (а Саша – 2 или 1001, и тогда оба действительно не могли узнать числа друг друга).
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь