Олимпиадная задача по планиметрии: параллельные стороны 50-угольника (8-9 класс)

Уменьшим окружность в 25 раз. Пусть a_k – k-я сторона, а L_k – длина соответствующей дуги (мы нумеруем по кругу и допускаем номера  k > 50,  подразумевая в таком случае a_k–50 вместо a_k и т. п.). Стороны a_k и a_k+25 параллельны, когда заключенные между ними дуги равны, то есть когда число

S_k = (L_k+1 + L_k+2 + ... + L_k+24) – (L_k+26 + L_k+27 + ... + L_k+49)  равно нулю. Число S_k чётно, как сумма 24 разностей  L_k+1 – L_k+26,  L_k+2 – L_k+27,  ...,  равных ±1. Разность соседей  S_k+1 – S_k = (L_k+25 – L_k) + (L_k+26 – L_k+1)  может принимать значения 0 и ±2. Очевидно,  S₂₆ = – S₁.  Поэтому, где-то между S₁ и S₂₆ число S_k обращается в нуль, что и требовалось.

Ответ задачи отсутствует