Олимпиадная задача по планиметрии: угол AED в трапеции, описанной около окружности
Задача
Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол AED не может быть острым.
Решение
В описанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований, поэтому полусумма боковых сторон равна средней линии. Построим окружности на боковых сторонах трапеции как на диаметрах. Расстояние между их центрами (длина средней линии трапеции) равно сумме радиусов, поэтому окружности касаются внешним образом.
Из точки внутри любой из этих окружностей одна из боковых сторон видна под тупым углом, а другая – под острым. Однако из точки E обе боковые стороны видны под равными углами. Поэтому E не лежит внутри ни одной из этих окружностей. Отсюда угол AEB не тупой и смежный угол AED не острый.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь