Олимпиадные задачи из источника «19 турнир (1997/1998 год)» для 9 класса - сложность 2 с решениями

В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

На стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на её продолжении) взята точка <i>M</i>, для которой  ∠<i>MAD</i> = ∠<i>AMO</i>,  где <i>O</i> – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что  <i>MD = MC</i>.

<i>a</i> и <i>b</i> – две данные стороны треугольника.

  Как подобрать третью сторону <i>c</i> так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?

  При каких <i>a</i> и <i>b</i> такая сторона существует?

(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны <i>c</i> и продолжений сторон <i>a</i> и <i>b</i>.)

В угол вписана окружность с центром <i>O</i>. Через точку <i>A</i>, симметричную точке <i>O</i> относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки <i>A</i> стороной угла – <i>B</i> и <i>C</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на биссектрисе данного угла.

Отрезки <i>AB</i> и <i>CD</i> лежат на двух сторонах угла <i>BOD</i> (<i>A</i> лежит между <i>O</i> и <i>B, C</i> – между <i>O</i> и <i>D</i>). Через середины отрезков <i>AD</i> и <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M, A</i> и <i>B</i> лежат на одной стороне угла; <i>N, C</i> и <i>D</i> – на другой). Докажите, что

<i>OM</i> : <i>ON = AB</i> : <i>CD</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке <i>C</i>, а второй – в точке <i>D</i>. Пусть <i>B</i> – ближайшая к прямой <i>CD</i> точка пересечения окружностей. Прямая <i>CB</i> второй раз пересекает вторую окружность в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AD</i> – биссектриса угла <i>CAE</i>.

Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>. Постройте прямую <i>l</i>, удовлетворяющую следующим условиям:  <i>l || BC,  l</i> пересекает треугольник <i>ABC</i>; отрезок прямой <i>l</i>, заключённый внутри треугольника, виден из точки <i>M</i> под прямым углом.

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.

Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98394/problem_98394_img_2.gif">   (<i>a, b, c</i> – положительные числа).

Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось составить некоторый прямоугольник из нескольких подобных между собой непрямоугольных треугольников. Можно ли ему верить? (Среди подобных треугольников могут быть и равные.)

Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)

Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?

Незнайка решал уравнение, в левой части которого стоял многочлен третьей степени с целыми коэффициентами, а в правой – 0. Он нашёл корень ¹/₇. Знайка, заглянув к нему в тетрадь, увидел только первые два слагаемых многочлена:  19<i>x</i>³ + 98<i>x</i>²  и сразу сказал, что ответ неверен. Обоснуйте ответ Знайки.

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга.

Докажите, что такая расстановка единственна.  

Докажите, что уравнение  <i>xy</i>(<i>x – y</i>) + <i>yz</i>(<i>y – z</i>) + <i>zx</i>(<i>z – x</i>) = 6  имеет бесконечно много решений в целых числах.

Последовательность {<i>x_n</i>} определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+2 = <i>x_n</i> – ¹/_{<i>x</i>_<i>n</i>+1}   при  <i>n</i> ≥ 1.

Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² – <i>z</i>² = 1997  имеет бесконечно много решений в целых числах.

По неподвижному эскалатору человек спускается быстрее, чем поднимается. Что быстрее: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору или спуститься и подняться по спускающемуся эскалатору? (Предполагается, что все скорости, о которых идет речь, постоянны, причём скорости эскалатора при движении вверх и вниз одинаковы, а скорость человека относительно эскалатора всегда больше скорости эскалатора.)

В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>K</i> и <i>M</i> принадлежат сторонам <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно, причём <i>AM</i> – биссектриса угла <i>KAD</i>.

Докажите, что  <i>AK</i> = <i>DM</i> + <i>BK</i>.