Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: деление стороны треугольника
Задача
a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)
Решение
Рассмотрим случай a < b. Пусть M и R – точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной AB = c треугольника ABC. Как известно (см. задачу 155404), BM = AR = ½ (a + c – b).
Заметим, что BM < c/2 (так как a < b), то есть точка M лежит ближе к B, чем к A. Поэтому условие задачи сводится к равенству ½ (a + c – b) = c/3, которое легко приводится к виду c = 3(b – a).
Мы должны еще проверить неравенства треугольника c < a + b и b < a + c (третье выполняется автоматически). Второе из них приводится к виду
a < b и также выполнено автоматически, а первое – к виду b < 2a.
Случай a = b, очевидно, невозможен. Случай a > b "симметричен" разобранному: c = 3(a – b), условие разрешимости b < a < 2b.
Ответ
c = 3|a – b|, при b < a < 2b или a < b < 2a.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь