Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс»

а) Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки доски 3×3? (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)

б) Та же задача для доски 4×4.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² – <i>z</i>² = 1997  имеет бесконечно много решений в целых числах.

По неподвижному эскалатору человек спускается быстрее, чем поднимается. Что быстрее: спуститься и подняться по поднимающемуся эскалатору или спуститься и подняться по спускающемуся эскалатору? (Предполагается, что все скорости, о которых идет речь, постоянны, причём скорости эскалатора при движении вверх и вниз одинаковы, а скорость человека относительно эскалатора всегда больше скорости эскалатора.)

В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>K</i> и <i>M</i> принадлежат сторонам <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно, причём <i>AM</i> – биссектриса угла <i>KAD</i>.

Докажите, что  <i>AK</i> = <i>DM</i> + <i>BK</i>.