Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке <i>C</i>, а второй – в точке <i>D</i>. Пусть <i>B</i> – ближайшая к прямой <i>CD</i> точка пересечения окружностей. Прямая <i>CB</i> второй раз пересекает вторую окружность в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AD</i> – биссектриса угла <i>CAE</i>.

Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>. Постройте прямую <i>l</i>, удовлетворяющую следующим условиям:  <i>l || BC,  l</i> пересекает треугольник <i>ABC</i>; отрезок прямой <i>l</i>, заключённый внутри треугольника, виден из точки <i>M</i> под прямым углом.

Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на 100 маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?

Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?

Первоначально на каждом поле доски 1×<i>n</i> стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за  <i>n</i> – 1  ход можно собрать все шашки на одной клетке.

Последовательность {<i>x_n</i>} определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+2 = <i>x_n</i> – ¹/_{<i>x</i>_<i>n</i>+1}   при  <i>n</i> ≥ 1.

Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.