Олимпиадные задачи из источника «14 турнир (1992/1993 год)» - сложность 3 с решениями

Биссектриса угла <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Пусть <i>P</i> – точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> относительно середины стороны <i>BC, M</i> – вторая точка пересечения прямой <i>DP</i> с описанной окружностью. Докажите, что расстояние от точки <i>M</i> до одной из вершин <i>A, B, C</i> равно сумме расстояний от <i>M</i> до двух других вершин.

а) В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> больше угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BC</i> > ½ <i>AB</i>.

б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> угол <i>A</i> больше угла <i>C</i>, а угол <i>D</i> больше угла <i>B</i>. Докажите, что <i>BC</i> > ½ <i>AD</i>.

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> внешним образом построен квадрат с центром <i>O</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i>   середины сторон <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно, а длины этих сторон равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Найти максимум суммы  <i>OM + ON</i>,  когда угол <i>ACB</i> меняется.

На доску последовательно записываются натуральные числа. На <i>n</i>-м шаге (когда написаны числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  <i>a</i>₁<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>k</i>₂ + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>k</i>_<i>n</i>–1,  где <i>k_i</i> – целые неотрицательные числа (на <i>a</i>₁ никаких огран...

Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.

На отрезке  [<i>a, b</i>]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: <i>a</i> – синяя и <i>b</i> – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: <i>a</i> – красная и <i>b</i> – синяя?

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.

В таблице <i>m</i> строк, <i>n</i> столбцов. <i>Горизонтальным ходом</i> называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется <i>вертикальный ход</i> ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое <i>k</i>, что за <i>k</i> ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98159/problem_98159_img_2.gif">

Сколько полных квадратов встречается среди первых членов этой последовательности, не превосходящих 1000000?

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10^{–|<i>x–d</i>|} (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что

<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Числовая последовательность определяется условиями:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98152/problem_98152_img_2.gif">  

Докажите, что среди членов этой последовательности бесконечно много полных квадратов.

Дан угол с вершиной <i>O</i> и внутри него точка <i>A</i>. Рассмотрим такие точки <i>M, N</i> на разных сторонах данного угла, что углы <i>MAO</i> и <i>OAN</i> равны.

Докажите, что все прямые <i>MN</i> проходят через одну точку (или параллельны).

В четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>AB = BC = CD</i> = 1,  <i>AD</i> не равно 1. Положение точек <i>B</i> и <i>C</i> фиксировано, точки же <i>A</i> и <i>D</i> подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков <i>AB, CD</i> и <i>AD</i>. Новое положение точки <i>A</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>BD</i>, новое положение точки <i>D</i> получается из старого зеркальным отражением в отрезке <i>AC</i> (где <i>A</i> уже новое), затем на втором шагу опять <i>A</i> отражается относительно <i>BD</i> (<i>D</i> уже новое), затем снова преобразуется <i>D</i&gt...

Можно ли подобрать два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами так, что  <i>P – Q</i>,  <i>P</i> и  <i>P + Q</i>  – квадраты некоторых многочленов (причём <i>Q</i> не получается умножением <i>P</i> на число)?

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).

Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.

В таблице  <i>n×n</i>  разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)

Дано натуральное число <i>M</i>. Докажите, что существует число, кратное <i>M</i>, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.