Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 8-11 класса - сложность 3 с решениями

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i> и вписан в окружность Ω. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность ω треугольника <i>PIQ</i> перпендикулярна Ω.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB', CC'</i>. Через <i>A</i> и <i>C'</i> проведены две окружности, касающиеся <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>.

Докажите, что точки <i>A, B', P, Q</i> лежат на одной окружности.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть ω_<i>A</i>, ω_<i>B</i>, ω_<i>C</i>, ω_<i>D</i> – описанные окружности треугольников <i>BCD, ACD, ABD, ABC</i> соответственно. Обозначим через <i>X_A</i> произведение степени точки <i>A</i> относительно ω<i>A</i> на площадь треугольника <i>BCD</i>. Аналогично определим <i>X_B, X_C, X_D</i>. Докажите, что  <i>X_A + X_B + X_C + X_D</i> = 0.

Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.

На каждой из двух параллельных прямых <i>a</i> и <i>b</i> отметили по 50 точек. Каково наибольшее возможное количество остроугольных треугольников с вершинами в этих точках?

Пусть <i>BH_b, CH_c</i> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>H_bH_c</i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны <i>X</i> и <i>Y</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что  <i>PQ || BC</i>.

Точка <i>D</i> лежит на основании <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>M</i> и <i>K</i> – на его боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, причём <i>AMDK</i> – параллелограмм. Прямые <i>MK</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>L</i>. Перпендикуляр к <i>BC</i>, восставленный из точки <i>D</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что окружность с центром <i>L</i>, проходящая через <i>D</i>, касается описанной окружности треугольника <i>AXY</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> углы <i>B</i> и <i>C</i> больше 60&deg. Точки <i>P, Q</i> на сторонах <i>AB, AC</i> таковы, что <i>A, P, Q</i> и ортоцентр треугольника <i>H</i> лежат на одной окружности; <i>K</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что  ∠<i>BKC</i> > 90&deg.

Вокруг квадрата <i>ABCD</i> описана окружность. Точка <i>P</i> лежит на дуге <i>CD</i> этой окружности, не содержащей других вершин квадрата. Прямые <i>PA, PB</i> пересекают диагонали <i>BD, AC</i> соответственно в точках <i>K, L</i>. Точки <i>M, N</i> – проекции <i>K, L</i> соответственно на <i>CD</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения прямых <i>KN</i> и <i>ML</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>AB</i> пополам.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₃ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B</i>₁₃, причём точки <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁₃ совпадают и лежат на отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₉, <i>B</i>₁₃<i>B</i><sub>...

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.

Обязательно ли эти тетраэдры подобны?

На диагонали <i>AC</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> взяли произвольную точку <i>P</i> и из неё опустили перпендикуляры <i>PK, PL, PM, PN, PO</i> на прямые <i>AB, BC, CD, DA, BD</i> соответственно. Докажите, что расстояние от <i>P</i> до <i>KN</i> равно расстоянию от <i>O</i> до <i>ML</i>.

Выпуклый шестиугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₆ описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего <i>r</i> можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче <i>r</i>?

Даны прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и две взаимно перпендикулярные прямые <i>x</i> и <i>y</i>, проходящие через вершину прямого угла <i>A</i>. Для точки <i>X</i>, движущейся по прямой <i>x</i>, определим <i>y_b</i> как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XB</i>, а <i>y_c</i> – как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XC</i>. Пусть <i>y_b</i> и <i>y_с</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i> (для несовпадающих <i>y<sub>b</sub&g...

В треугольнике <i>ABC</i> провели чевианы <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i>, которые пересекаются в точке <i>P</i>. Описанная окружность треугольника <i>PA'B'</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, а описанные окружности треугольников <i>PC'B'</i> и <i>PA'C'</i> повторно пересекают <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Проведём через середины отрезков <i>MN</i> и <i>KL</i> прямую <i>c</i>. Прямые <i>a</i> и <i>b</i> определяются аналогич...

Пусть <i>L</i> – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а <i>BH</i> – его высота. Известно, что  ∠<i>ALH</i> = 180° – 2∠<i>A</i>.

Докажите, что  ∠<i>CLH</i> = 180° – 2∠<i>C</i>.

Внутри остроугольного треугольника <i>ABC</i> постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку <i>K</i>, что  ∠<i>KBA</i> = 2∠<i>KAB</i>  и  ∠<i>KBC</i> = 2∠<i>KCB</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую <i>AB</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>.

Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  ∠<i>AKD</i> = ∠<i>CLD</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>BKL</i> равноудален от <i>A</i> и <i>C</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>C</i>₀ – середина гипотенузы <i>AB, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ – биссектрисы, <i>I</i> – центр вписанной окружности.

Докажите, что прямые <i>C</i>₀<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекаются на высоте <i>CH</i>.

В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.

Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  <i>AC = BD = AD</i>;  точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; <i>O</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что <i>EF</i> проходит через точки касания вписанной окружности треугольника <i>AOD</i> с его сторонами <i>AO</i> и <i>OD</i>.

<i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC,  H_B, H_C</i> – ортоцентры треугольников <i>ABI</i> и <i>ACI</i> соответственно, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>H_B, H_C</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.