Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями
VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)
НазадВ треугольнике <i>ABC</i> высота и медиана, проведённые из вершины <i>A</i>, образуют (вместе с прямой <i>BC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>A</i> является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины <i>B</i>, образуют (вместе с прямой <i>AC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>B</i> является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.
Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы
∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.
Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> (∠<i>B</i> = 90°) касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub>, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i><sub>2</sub>. Прямая <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что <i>AC || A'C'</i>.
Точка <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников <i>CHB</i> и <i>AHB</i> в точке <i>H</i>, пересекают прямую <i>AC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>H = C</i><sub>1</sub><i>H</i>.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>PB = QC</i>. Докажите, что <i>PQ < BC</i>.
Даны две единичные окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω<sub>1</sub> взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω<sub>2</sub> точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω<sub>3</sub> и ω<sub>4</sub>. Обозначим повторное пересечение ω<sub>1</sub> и ω<sub>3</sub> через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω<sub>2</sub> и ω<sub>4</sub> – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.
В треугольнике <i>ABC</i> проведён серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> до пересечения с другой стороной в некоторой точке <i>C'</i>. Аналогично построены точки <i>A'</i> и <i>B'</i>. Для каких исходных треугольников треугольник <i>A'B'C'</i> будет равносторонним?
В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB', CC'</i>. Известно, что в треугольнике <i>A'B'C'</i> эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний?
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>A</i> = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>B</i><sub>1</sub>. Докажите, что прямая <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> со сторонами <i>AB</i> = 4, <i>AC</i> = 6 проведена биссектриса угла <i>A</i>. На эту биссектрису опущен перпендикуляр <i>BH</i>.
Найдите <i>MH</i>, где <i>M</i> – середина <i>BC</i>.
Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
В треугольнике <i>ABC</i> <i>AA</i><sub>0</sub> и <i>BB</i><sub>0</sub> – медианы, <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты. Описанные окружности треугольников <i>CA</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>0</sub> и <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> вторично пересекаются в точке <i>M<sub>c</sub></i>. Аналогично определяются точки <i>M<sub>a</sub>, M<sub>b</sub></i>. Докажите, что точки <i>M<sub>a</sub>, M<sub>b</sub>, M<sub>c</sub></i> лежат на одной прямой, а прямые <i...
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i><sub>1</sub> – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i><sub>1</sub><i>DM</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>DN</i&g...
Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>AM = AN = AB</i> (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.
В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.