Олимпиадные задачи из источника «2007 год» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон. За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
На некоторых клетках шахматной доски лежит по конфете. Известно, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) лежит чётное количество конфет (возможно, ни одной). Какое максимальное количество конфет может лежать на доске?
На стороне<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>взята точка<i> D </i>так, что<i> AD:DC=</i>1<i>:</i>2. Докажите, что у треугольников<i> ADB </i>и<i> CDB </i>есть по равной медиане.
Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?
Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.
Числа <i>a, b</i> и <i>c</i> отличны от нуля и выполняются равенства: <i>a + <sup>b</sup></i>/<i><sub>c</sub> = b + <sup>c</sup></i>/<i><sub>a</sub> = c + <sup>a</sup></i>/<sub><i>b</i></sub> = 1. Докажите, что <i>ab + bc + ca</i> = 0.
Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили 2007. Каким могло быть исходное число?
В выпуклом пятиугольнике<i> ABCDE </i><i> <img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> A=<img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> B=<img src="/storage/problem-media/109461/problem_109461_img_2.gif"> D=</i>90<i><sup>o</sup> </i>. Найдите угол<i> ADB </i>, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.
В выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i> выполняются равенства: ∠<i>CBD</i> = ∠<i>CAB</i> и ∠<i>ACD</i> = ∠<i>ADB</i>.
Докажите, что из отрезков <i>BC, AD</i> и <i>AC</i> можно сложить прямоугольный треугольник.
Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал ⅕ общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал <sup>1</sup>/<sub>7</sub> часть от общего количества. Сколько было школьников?
На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.
Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов <i>ax</i>² + <i>bx + c, bx</i>² + <i>cx + a</i> и <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>
В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?
Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!
Сторону<i> АВ </i>треугольника<i> АВ</i>Спродолжили за вершину<i> В </i>и выбрали на луче<i> АВ </i>точку<i> А<sub>1</sub> </i>так, что точка<i> В </i>– середина отрезка<i> АА<sub>1</sub> </i>. Сторону<i> В</i>Спродолжили за вершинуСи отметили на продолжении точку<i> В<sub>1</sub> </i>так, чтоС– середина<i> ВВ<sub>1</sub> </i>. Аналогично, продолжили сторонуС<i>А </i>за вершину<i> А </i>и отметили на продолжении точкуС<i><sub>1</sub> </i>так, что<i> А </i>– серединаСС<i><sub>1</sub> </i>. Найдите площадь треугольника<i> А<sub>1&...
Может ли вершина параболы <i>у</i> = 4<i>х</i>² – 4(<i>а</i> + 1)<i>х + а</i> лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении <i>а</i>?
Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.
Найдите все нечётные натуральные числа, большие 500, но меньшие 1000, у каждого из которых сумма последних цифр всех делителей (включая 1 и само число) равна 33.
Что больше: <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif"> или <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?