Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая регата» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Найдите все пары (<i>p, q</i>) простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.
В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD || BC</i>) из точки <i>Е</i> – середины <i>CD</i> провели перпендикуляр <i>EF</i> к прямой <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции, если <i>АВ</i> = 5, <i>EF</i> = 4.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i> и проведены отрезки <i>РА</i>, <i>РВ</i>, <i>РС</i> и <i>PD</i>. Площади трёх из образовавшихся треугольников равны 1, 2 и 3 (в каком-то порядке). Какие значения может принимать площадь четвёртого треугольника?
Решите неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">
Дана пирамида<i>АВСD</i>(см. рис.). Известно, что $\triangle$<i>ADB</i>=$\triangle$<i>DBC</i>; $\triangle$<i>ABD</i>=$\triangle$<i>BDC</i>; $\triangle$<i>BAD</i>=$\triangle$<i>ABC</i>. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника<i>АВС</i>равна 10 см<sup>2</sup>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/86491/problem_86491_img_3.gif"> </div>
В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу <i>m</i>. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться <i>m</i>?
Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
Числовая функция <i>f</i> такова, что для любых <i>x</i> и <i>y</i> выполняется равенство <i>f</i>(<i>x + y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(<i>y</i>) + 80<i>xy</i>. Найдите <i>f</i>(1), если <i>f</i>(0,25) = 2.
Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?