Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» для 2-7 класса - сложность 2-3 с решениями
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбрана такая точка <i>D</i>, что <i>BD = BC</i>, а на катете <i>BC</i> – такая точка <i>E</i>, что <i>DE = BE</i>.
Докажите, что <i>AD + CE = DE</i>.
На листе бумаги были построены система координат (выделена жирно) и графики трёх функций: <i>y = ax + b, y = bx + c</i> и <i>y = cx + a</i>. После этого стёрли обозначения и направления осей, а сам лист как-то повернули (см. рисунок). Укажите на рисунке ось абсцисс и ее направление.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65221/problem_65221_img_2.gif"></div>
Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.
Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?
В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками равен α. Через час он опять равен α. Найдите все возможные значения α.
Банк "Империал" при снятии денег со счета берет комиссию, состоящую из двух частей: фиксированной оплаты за проведение операции и еще оплаты, пропорциональной снятой сумме. Например, при снятии со счета 5000 рублей вкладчик заплатит 110 рублей, а при снятии 11000 рублей заплатит 230 рублей. Какую комиссию заплатит вкладчик, если он захочет снять со счета 8000 рублей?
В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.
Три числа <i>x, y</i> и <i>z</i> отличны от нуля и таковы, что <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>yz</i> и <i>y</i>² – <i>z</i>² = <i>xz</i>. Докажите, что <i>x</i>² – <i>z</i>² = <i>xy</i>.
На доске выписаны числа 1, 2, ..., 100. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестёртых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число 1. Какие числа будут стёрты на последнем этапе?
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB, AC</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что <i>BF</i> = 2<i>CF, CE</i> = 2<i>AE</i> и угол <i>DEF</i> – прямой.
Докажите, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADF</i>.
Набор из нескольких чисел, среди которых нет одинаковых, обладает следующим свойством: среднее арифметическое каких-то двух чисел из этого набора равно среднему арифметическому каких-то трёх чисел из набора и равно среднему арифметическому каких-то четырёх чисел из набора. Каково наименьшее возможное количество чисел в таком наборе?
В клетках таблицы 3×3 расставили цифры от 1 до 9. Затем нашли суммы цифр в каждой строке.
Какое наибольшее количество из этих сумм может оказаться полным квадратом?
Бумажный прямоугольный треугольник <i>АВС</i> перегнули по прямой так, что вершина <i>С</i> прямого угла совместилась с вершиной <i>В</i> и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней): <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .
По окончании шахматного турнира Незнайка сказал: "Я набрал на 3,5 очка больше, чем потерял". Могут ли его слова быть правдой?
(Победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0.)
На столе выложены в ряд 64 гирьки, причём масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?
На доске размером 8×8 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 3×3. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?