Олимпиадные задачи из источника «2010/11» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?

В трапеции <i>ABCD</i> биссектриса тупого угла <i>B</i> пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i> – его середине, <i>M</i> – середина <i>BC,  AB = BC</i>.

Найдите отношение  <i>KM</i> : <i>BD</i>.

Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором  <i>n</i>²⁰⁰ < 5³⁰⁰.

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, при котором число  <i>А = n</i>³ + 12<i>n</i>² + 15<i>n</i> + 180  делится на 23.

В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 45°, <i>АМ</i> и <i>CN</i> – высоты, <i>О</i> – центр описанной окружности, <i>Н</i> – ортоцентр.

Докажите, что <i>ОNHМ</i> – параллелограмм.

Известно, что  5(<i>а</i> – 1) = <i>b + a</i>².  Сравните числа <i>а</i> и <i>b</i>.

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.

Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

В равнобокой трапеции <i>AВСD</i> основания <i>AD</i> и <i>ВС</i> равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы <i>ВАС</i> и <i>САD</i>.

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>c</i>  (см. рисунок). В каких точках график функции  <i>y = cx + a</i>  пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>

В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе.

Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под острым углом.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

Дан угол с вершиной <i>O</i> и окружность, касающаяся его сторон в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Луч с началом в точке <i>A</i>, параллельный <i>OB</i>, пересекает окружность в точке <i>C</i>. Отрезок <i>OC</i> пересекает окружность в точке <i>E</i>. Прямые <i>AE</i> и <i>OB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>OK = KB</i>.

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?

Докажите, что ни при каких натуральных значениях <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>⁸ – <i>x</i>⁷<i>y + x</i>⁶<i>y</i>² – ... – <i>xy</i>⁷ + <i>y</i>⁸  не является простым.

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.

Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

Точки <i>K</i> и <i>L</i> – середины сторон <i>АВ</i> и <i>ВС</i> правильного шестиугольника <i>АВСDEF</i>. Отрезки <i>KD</i> и <i>LE</i> пересекаются в точке <i>М</i>. Площадь треугольника <i>DEM</i> равна 12. Найдите площадь четырёхугольника <i>KBLM</i>.

Известно, что разность кубов корней квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  равна 2011. Сколько корней имеет уравнение  <i>ax</i>² + 2<i>bx</i> + 4<i>c</i> = 0?

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.