Олимпиадные задачи из источника «2000/01» - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что среди чисел вида 19991999...19990...0 найдётся хотя бы одно, которое делится на 2001.

Про квадратный трехчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² – <i>ax</i> + 1  известно, что  | <i>f</i>(<i>x</i>)| ≤ 1  при  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение <i>а</i>.

Корни уравнения  <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = <i>b</i>  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  <i>a</i>² + <i>b</i>²  является составным.

Диагонали равнобокой трапеции<i>АВСD</i>с боковой стороной<i>АВ</i>пересекаются в точке<i>Р</i>. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника<i>ABP</i>?

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Квадратный трехчлен  <i>y</i> = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  не имеет корней и  <i>а + b + c</i> > 0.  Найдите знак коэффициента <i>с</i>.

Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

Укажите все пары  (<i>x</i>; <i>y</i>),  для которых выполняется равенство   (<i>x</i>⁴ + 1)(<i>y</i>⁴ + 1) = 4<i>x</i>²<i>y</i>².

Найдите все натуральные <i>m</i> и <i>n</i>, для которых  <i>m</i>! + 12 = <i>n</i>².

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°, <i>AM</i> и <i>CN</i> – его высоты, а <i>Q</i> – середина стороны <i>AC</i>. Докажите, что треугольник <i>MNQ</i> – равносторонний.

Решите систему уравнений:     1 –<i>x</i>₁<i>x</i>₂= 0,     1 –<i>x</i>₂<i>x</i>₃= 0,     ...     1 –<i>x</i>₂₀₀₀<i>x</i>₂₀₀₁= 0,     1 –<i>x</i>₂₀₀₁<i>x</i>₁= 0.

Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рис.). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/86498/problem_86498_img_2.gif"> </div>

Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?

Какое наибольшее количество прямоугольников 41 можно разместить в квадрате 66 (не нарушая границ клеток)?

Отрезки <i>АС</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Периметр треугольника <i>АВС</i> равен периметру треугольника <i>АВD</i>, а периметр треугольника <i>ACD</i> равен периметру треугольника <i>BCD</i>. Найдите длину <i>АО</i>, если <i>ВО</i> = 10 см.

Расположите в порядке возрастания числа: 222²; 22²²; 2²²²; 22^2²; 2^22²; 2^2²²; 2^{2^2²}. Ответ обоснуйте.

В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех пяти курсов. Каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач. Каждые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало ровно по одной задаче?