Олимпиадные задачи по математике

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Рассмотрите два варианта задачи:

  а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна;

  б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) удовлетворяет условиям:  <i>P</i>(0) = 1,  (<i>P</i>(<i>x</i>))² = 1 + <i>x + x</i>¹⁰⁰<i>Q</i>(<i>x</i>),  где <i>Q</i>(<i>x</i>) – некий многочлен.

Докажите, что коэффициент при <i>x</i>⁹⁹ в многочлене  (<i>P</i>(<i>x</i>) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника <i>P</i> и <i>Q</i>. Для каждой стороны многоугольника <i>P</i> многоугольник <i>Q</i> можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через <i>h</i> расстояние между этими прямыми, а через <i>l</i> – длину стороны и вычислим произведение <i>lh</i>. Просуммировав такие произведения по всем сторонам <i>P</i>, получим некоторую величину  (<i>P, Q</i>).  Докажите, что  (<i>P, Q</i>) = (<i>Q, P</i>).