За 4 хода Петя не сможет гарантированно выиграть: если Вася закрасит две точки в красный цвет, а две – в синий, то одноцветных треугольников не будет.

  Покажем как выиграть за 5 ходов. Первыми тремя ходами Петя отметит на плоскости точки, являющиеся вершинами треугольника ABC, подобного исходному. Если Вася покрасит все отмеченные точки в один цвет, тогда Петя уже победил.

  Пусть вершины A и B покрашены в красный цвет, а C – в синий. Тогда следующими двумя ходами Петя отмечает в той же полуплоскости относительно прямой AB, что и точка C, такие точки P и Q, что треугольники ABC, PAB и BQA подобны (см. рис.).

  Если Вася покрасит хотя бы одну из точек P и Q в красный цвет, то образуется треугольник, подобный исходному, у которого все вершины красные. Если же Вася покрасит обе эти вершины в синий, то образуется "синий" треугольник CPQ, который также подобен исходному. Докажем это.   Первый способ.  ∠CAQ = ∠CAB – ∠QAB = ∠CAB – ∠ACB = ∠QBA – ∠PBA = ∠PBQ, а также    Следовательно, треугольники CAQ и PBQ подобны, причём коэффициент подобия равен   .

  Значит,  ∠CQP =∠CQA + ∠AQP = ∠CQA + ∠AQB – ∠PQB = ∠AQB = ∠CBA  и  ,  откуда следует подобие треугольников CQP и CBA.   Второй способ. Отметим точки C', P' и Q', симметричные точкам C, P и Q относительно серединного перпендикуляра к AB (см. рис.).

  Из равенств углов очевидно следует, что каждая тройка точек  A, C, Q';  A, P', Q;  A, P, C'  и  B, P', C;  B, P, Q';  B, C', Q  лежит на одной прямой.

  ∠ACB = ∠QAB = ∠AQQ',  поэтому четырёхугольник CQ'QP' вписан. Серединный перпендикуляр к QQ' совпадает с серединным перпендикуляром к AB и проходит через центр описанной окружности четырёхугольника CQ'QP'. Значит, эта окружность симметрична относительно него, а следовательно, на ней лежат еще и точки C' и P.

  Из вписанности шестиугольника Q'QC'PP'C следует, что  ∠ACB = ∠Q'BA = ∠BQ'Q = ∠PCQ  и  ∠CBA = ∠BQ'A = ∠CQP.  Получаем подобие треугольников ABC и PQC по двум углам.

За 5 ходов.