Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 8 класса
Дано <i>n</i> палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение <i>n</i>?
В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное <i>k</i>, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять <i>k</i> белых и <i>k</i> фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
Все коэффициенты квадратного трёхчлена – нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>, где <i>n</i> – натуральное число.
На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблока в каждом (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64712/problem_64712_img_2.gif"></div>Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда от них отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?
В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?
В прямоугольнике <i>ABCD</i> точка <i>M</i> – середина стороны <i>CD</i>. Через точку <i>C</i> провели прямую, перпендикулярную прямой <i>BM</i>, а через точку <i>M</i> – прямую, перпендикулярную диагонали <i>BD</i>. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой <i>AD</i>.
Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?
Будем называть <i>змейкой</i> ломаную, у которой все углы между соседними звеньями равны, причём для любого некрайнего звена соседние с ним звенья лежат в разных полуплоскостях от этого звена (пример змейки см. на рисунке). Барон Мюнхгаузен заявил, что отметил на плоскости 6 точек и нашёл 6 разных способов соединить их (пятизвенной) змейкой (вершины каждой из змеек – отмеченные точки). Могут ли его слова быть правдой?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64708/problem_64708_img_2.gif"></div>
Витя хочет найти такое выражение, состоящее из единиц, скобок, знаков "+" и "×" что
- его значение равно 10;
- если в этом выражении заменить все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", всё равно получится 10.
Приведите пример такого выражения.
На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)